Estratégia e propriedades que vamos usar (explicadas de forma didática):
Para qualquer matriz invertível M vale a propriedade \left(M^{T}\right)^{-1}=(M^{-1})^{T}. Ou seja, inverter e transpor são operações que comutam, mas a inversa de uma transposta é a transposta da inversa.
Para calcular explicitamente \left(A^{T}\right)^{-1} usarei a propriedade acima e encontrarei A^{-1} explicitamente, depois transponho.
Método para achar A^{-1}: Gauss–Jordan. Coloca-se a matriz aumentada [A\mid I] e aplica-se operações elementares de linha até transformar a parte esquerda em I; a parte direita resultante será A^{-1}.
Operações elementares (explicação curta): trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares à esquerda e preservam a solução linear; no Gauss–Jordan convertem A em I enquanto constroem A^{-1}.
Passo 3
Montagem da matriz aumentada e primeira série de operações (vou mostrar cada linha após a operação):
Início:
Sem calcular A^{-1} isso já responde a estrutura da matriz pedida. Se quisermos a forma explícita numérica, multiplicando 59 por (A^{T})^{-1} encontrado no passo anterior obtemos uma matriz com entradas inteiras: