Seja A uma matriz 3 \times 3 invertível dada por:
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 0 \\\\ -1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right]
(a) (1.0 ponto) Encontre explicitamente a matriz \left(A^{T}\right)^{-1}.
(b) (1.0 ponto) Determine, sem calcular A^{-1},\left(\left(\frac{1}{59} \cdot A\right)^{-1}\right)^{T}. Justifique as propriedades usadas.

Passo 1

O enunciado dá a matriz invertível A e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar explicitamente \left(A^{T}\right)^{-1}.
  • (b) Determinar, sem calcular A^{-1}, a matriz \left(\left(\dfrac{1}{59}\cdot A\right)^{-1}\right)^{T}, justificando as propriedades usadas.
A informação numérica fornecida é:
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 0 \\\\ -1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right].

Passo 2

Estratégia e propriedades que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Para qualquer matriz invertível M vale a propriedade \left(M^{T}\right)^{-1}=(M^{-1})^{T}. Ou seja, inverter e transpor são operações que comutam, mas a inversa de uma transposta é a transposta da inversa.
  • Para calcular explicitamente \left(A^{T}\right)^{-1} usarei a propriedade acima e encontrarei A^{-1} explicitamente, depois transponho.
  • Método para achar A^{-1}: Gauss–Jordan. Coloca-se a matriz aumentada [A\mid I] e aplica-se operações elementares de linha até transformar a parte esquerda em I; a parte direita resultante será A^{-1}.
  • Operações elementares (explicação curta): trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares à esquerda e preservam a solução linear; no Gauss–Jordan convertem A em I enquanto constroem A^{-1}.

Passo 3

Montagem da matriz aumentada e primeira série de operações (vou mostrar cada linha após a operação):
Início:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Deixar pivô na primeira linha com 1: R_1\leftarrow \dfrac{1}{2}R_1.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{3}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] -1 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Zerar entrada abaixo do pivô (coluna 1): R_2\leftarrow R_2+R_1.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{3}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{11}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Continuando eliminação na segunda coluna e terceira coluna:
  1. Normalizar segunda linha para pivô 1: R_2\leftarrow \dfrac{2}{11}R_2.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{3}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{4}{11} & \tfrac{1}{11} & \tfrac{2}{11} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Zerar as outras entradas da coluna 2:
  • R_1\leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_2.
  • R_3\leftarrow R_3 - R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{6}{11} & \tfrac{4}{11} & -\tfrac{3}{11} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{4}{11} & \tfrac{1}{11} & \tfrac{2}{11} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{59}{11} & -\tfrac{1}{11} & -\tfrac{2}{11} & 1 \end{array}\right].
  1. Normalizar terceira linha para pivô 1: R_3\leftarrow \dfrac{11}{59}R_3.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{6}{11} & \tfrac{4}{11} & -\tfrac{3}{11} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{4}{11} & \tfrac{1}{11} & \tfrac{2}{11} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{59} & -\tfrac{2}{59} & \tfrac{11}{59} \end{array}\right].]

Passo 5

Zerar as entradas acima do pivô da terceira coluna para finalizar o Gauss–Jordan:
  • R_1\leftarrow R_1 - \tfrac{6}{11}R_3.
  • R_2\leftarrow R_2 + \tfrac{4}{11}R_3.
Cálculos dos termos à direita (mostrados já simplificados) levam a:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{22}{59} & -\tfrac{15}{59} & -\tfrac{6}{59}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{59} & \tfrac{10}{59} & \tfrac{4}{59}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{59} & -\tfrac{2}{59} & \tfrac{11}{59} \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é I_3, logo a parte direita é A^{-1}. Assim:
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \tfrac{22}{59} & -\tfrac{15}{59} & -\tfrac{6}{59}\\[4pt] \tfrac{5}{59} & \tfrac{10}{59} & \tfrac{4}{59}\\[4pt] -\tfrac{1}{59} & -\tfrac{2}{59} & \tfrac{11}{59} \end{array}\right].]

Passo 6

Obter \left(A^{T}\right)^{-1} usando a propriedade e transpondo A^{-1}:
Pela propriedade citada, \left(A^{T}\right)^{-1}=(A^{-1})^{T}. Transpondo a matriz acima:
\left(A^{T}\right)^{-1}=(A^{-1})^{T}= \left[\begin{array}{ccc} \tfrac{22}{59} & \tfrac{5}{59} & -\tfrac{1}{59}\\[4pt] -\tfrac{15}{59} & \tfrac{10}{59} & -\tfrac{2}{59}\\[4pt] -\tfrac{6}{59} & \tfrac{4}{59} & \tfrac{11}{59} \end{array}\right].]

Passo 7

Parte (b): determinar \left(\left(\dfrac{1}{59}\cdot A\right)^{-1}\right)^{T} sem calcular A^{-1} diretamente.
Propriedades usadas (justificadas):
  • Se c é escalar não nulo e M é matriz invertível então (cM)^{-1}=\dfrac{1}{c}\,M^{-1}. Verificação rápida: (cM)\left(\dfrac{1}{c}M^{-1}\right)=I.
  • Para qualquer matriz M, \left(M^{-1}\right)^{T}=\left(M^{T}\right)^{-1} (já usada antes).
  • A operação de transpor preserva multiplicação por escalar: (cM)^{T}=cM^{T}.
Aplicando essas propriedades:
\left(\left(\tfrac{1}{59}A\right)^{-1}\right)^{T}=\left(59\,A^{-1}\right)^{T}=59\,(A^{-1})^{T}=59\,(A^{T})^{-1}.
Sem calcular A^{-1} isso já responde a estrutura da matriz pedida. Se quisermos a forma explícita numérica, multiplicando 59 por (A^{T})^{-1} encontrado no passo anterior obtemos uma matriz com entradas inteiras:
59\,(A^{T})^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} 22 & 5 & -1\\[4pt] -15 & 10 & -2\\[4pt] -6 & 4 & 11 \end{array}\right].]

Resposta

(a) \left(A^{T}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \tfrac{22}{59} & \tfrac{5}{59} & -\tfrac{1}{59}\\[4pt] -\tfrac{15}{59} & \tfrac{10}{59} & -\tfrac{2}{59}\\[4pt] -\tfrac{6}{59} & \tfrac{4}{59} & \tfrac{11}{59} \end{array}\right]
(b) \left(\left(\tfrac{1}{59}\cdot A\right)^{-1}\right)^{T}=59\,(A^{T})^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} 22 & 5 & -1\\[4pt] -15 & 10 & -2\\[4pt] -6 & 4 & 11 \end{array}\right]]

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