Dado o vetor vec{v}=(2,-3), encontrar o vetor paralelo a vec{v} tal que:
Seja de sentido contrário ao de vec{v} e a metade do módulo de vec{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor \vec{v}=(2,-3). Pede-se um vetor paralelo a \vec{v} que satisfaça duas condições:
  • seja de sentido contrário ao de \vec{v};
  • tenha módulo igual à metade do módulo de \vec{v}.
Listei as informações dadas e o que é pedido para ficar claro.

Passo 2

Entendendo o que significa “paralelo” e “sentido contrário” de forma prática: dois vetores \vec{w} e \vec{v} são paralelos se existe um escalar k tal que
\vec{w}=k\vec{v}.
Esse k é chamado de múltiplo escalar. Se k>0, \vec{w} tem o mesmo sentido de \vec{v}. Se k<0, \vec{w} tem sentido contrário ao de \vec{v}. Portanto, para obter um vetor paralelo e de sentido contrário, precisamos escolher um k negativo.

Passo 3

Agora a condição do módulo (comprimento). Para qualquer escalar k e vetor \vec{v} vale a propriedade de escala do módulo:
\lvert k\vec{v}\rvert = \lvert k\rvert\,\lvert \vec{v}\rvert,
onde \lvert\vec{v}\rvert é o módulo de \vec{v}. Queremos \lvert \vec{w}\rvert = \tfrac{1}{2}\lvert \vec{v}\rvert. Se \vec{w}=k\vec{v}, isso exige
\lvert k\rvert\,\lvert \vec{v}\rvert = \tfrac{1}{2}\lvert \vec{v}\rvert.
Como \lvert \vec{v}\rvert\neq0, podemos cancelar e obter \lvert k\rvert=\tfrac{1}{2}. Juntando com a necessidade de sentido contrário (ou seja, k<0), concluímos que
k=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora calculamos o vetor pedido usando k=-\tfrac{1}{2}:
\vec{w}=k\vec{v}=-\tfrac{1}{2}(2,-3).
Multiplicando componente a componente:
\vec{w}=\bigl(-\tfrac{1}{2}\cdot 2,\; -\tfrac{1}{2}\cdot(-3)\bigr)=(-1,\tfrac{3}{2}).

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): o módulo de \vec{v} é
\lvert \vec{v}\rvert=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
O módulo do candidato \vec{w}=(-1,\tfrac{3}{2}) é
\lvert \vec{w}\rvert=\sqrt{(-1)^{2}+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\tfrac{9}{4}}=\sqrt{\tfrac{13}{4}}=\tfrac{\sqrt{13}}{2},
que é exatamente \tfrac{1}{2}\lvert \vec{v}\rvert. Além disso \vec{w}=-\tfrac{1}{2}\vec{v} mostra que o sentido é contrário. Tudo confere.

Passo 6

Dica prática para a prova: para obter um vetor paralelo com módulo multiplicado por um fator a e com sentido escolhido, basta multiplicar as componentes por a (se quiser sentido contrário use a<0). Aqui a=-\tfrac{1}{2} e a operação é direta sobre as componentes.

Resposta

\vec{w}=\left(-1,\tfrac{3}{2}\right)

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