Seja n um inteiro positivo. Prove por induçāo que:
3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que, para todo inteiro positivo n, o número 2^{n}+(-1)^{n+1} é divisível por 3. As informações dadas são:
  • n é um inteiro positivo (ou seja, n\in\mathbb{Z}_{>0}).
  • Queremos provar a propriedade de divisibilidade 3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1} para todo n desse conjunto.

Passo 2

Estratégia escolhida: prova por indução matemática sobre n. Vou explicar rapidinho como a indução funciona (sem pressa):
  • Primeiro mostra-se o caso base (normalmente n=1), isto é, verifica-se que a propriedade vale para um valor inicial de n.
  • Depois assume-se que a propriedade vale para um certo n=k (hipótese de indução) e, a partir disso, mostra-se que ela também vale para n=k+1.
    Se esses dois passos forem feitos, conclui-se que a propriedade vale para todo inteiro positivo n.

Passo 3

Caso base ( n=1). Calcular a expressão e verificar a divisibilidade:
2^{1}+(-1)^{1+1}=2^{1}+(-1)^{2}=2+1=3.
Como 3 é divisível por 3, o caso base está verificado.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para um inteiro arbitrário k\ge 1 valha
3 \mid 2^{k}+(-1)^{k+1}.
Pela definição de divisibilidade, isso significa que existe um inteiro m tal que
2^{k}+(-1)^{k+1}=3m.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a propriedade vale para n=k+1. Começo manipulando a expressão pedida:
Primeiro uso a propriedade de potências de -1:
(-1)^{k+2}=(-1)^{k+1}\cdot(-1)=-(-1)^{k+1}.
Então
2^{k+1}+(-1)^{k+2}=2^{k+1}-(-1)^{k+1}.
Agora reescrevo essa expressão de forma a usar a hipótese de indução:
2^{k+1}-(-1)^{k+1}=2\cdot 2^{k}-(-1)^{k+1}.
Adicionando e subtraindo 2(-1)^{k+1} de forma inteligente, obtenho
2\cdot 2^{k}-(-1)^{k+1} =2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr)-3(-1)^{k+1}.
Verifique expandindo o lado direito:
2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr)-3(-1)^{k+1} =2^{k+1}+2(-1)^{k+1}-3(-1)^{k+1}=2^{k+1}-(-1)^{k+1}.
Pela hipótese de indução sabe-se que 2^{k}+(-1)^{k+1}=3m. Substituindo:
2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr)-3(-1)^{k+1}=2\cdot(3m)-3(-1)^{k+1}=3\bigl(2m-(-1)^{k+1}\bigr).
O termo 2m-(-1)^{k+1} é inteiro (pois m é inteiro e (-1)^{k+1}\in\{\pm1\}), logo a expressão é múltiplo de 3. Portanto
3 \mid 2^{k+1}+(-1)^{k+2}.
Isto completa o passo indutivo.

Passo 6

Como o caso base n=1 é verdadeiro e o passo indutivo foi provado, pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo inteiro positivo n.

Resposta

3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1} para todo inteiro positivo n.

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