Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
\vec{D}=\frac{2 \cos \theta}{r^{3}} \vec{a}_{r}+\frac{\operatorname{sen} \theta}{r^{3}} \vec{a}_{\theta}\left[C / m^{2}\] \operatorname{Resp} .: \rho=0\left[C / m^{3}\right]

Passo 1

O enunciado dá o vetor densidade de fluxo elétrico em coordenadas esféricas (componentes em \vec{a}_{r} e \vec{a}_{\theta}) e pede a densidade volumétrica de carga associada. Dados fornecidos:
  • \vec{D}=\dfrac{2\cos\theta}{r^{3}}\vec{a}_{r}+\dfrac{\sin\theta}{r^{3}}\vec{a}_{\theta} (unidades: \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}).
    O que se pede: determinar a densidade de carga \rho (unidades: \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}) correspondente a esse campo \vec{D}.

Passo 2

Princípio físico/matemático que liga \vec{D} e \rho: a forma diferencial da lei de Gauss para o campo elétrico em meios lineares é
\nabla\cdot\vec{D}=\rho.
Aqui \rho é a densidade volumétrica de carga (em \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}). Para calcular \rho precisamos então calcular o divergente de \vec{D}.

Passo 3

Fórmula do divergente em coordenadas esféricas (variáveis (r,\theta,\varphi), com \theta o ângulo polar): se
\vec{A}=A_{r}\vec{a}_{r}+A_{\theta}\vec{a}_{\theta}+A_{\varphi}\vec{a}_{\varphi}, então
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r^{2}A_{r}\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,A_{\theta}\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Nesta questão A_{\varphi}=0, portanto o último termo desaparece.

Passo 4

Identificar as componentes do campo dado:
A_{r}=D_{r}=\frac{2\cos\theta}{r^{3}},\qquad A_{\theta}=D_{\theta}=\frac{\sin\theta}{r^{3}},\qquad A_{\varphi}=0.

Passo 5

Calcular o primeiro termo do divergente:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}A_{r}\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\cdot\frac{2\cos\theta}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(\frac{2\cos\theta}{r}\right).
Derivando em r:
\frac{\partial}{\partial r}\!\left(\frac{2\cos\theta}{r}\right) =2\cos\theta\cdot\frac{d}{dr}\!\big(r^{-1}\big) =2\cos\theta\cdot(-1)r^{-2}=-\frac{2\cos\theta}{r^{2}}.
Multiplicando por 1/r^{2} temos
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}A_{r}\big)=-\frac{2\cos\theta}{r^{4}}.

Passo 6

Calcular o segundo termo do divergente:
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,A_{\theta}\big) =\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\cdot\frac{\sin\theta}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\frac{\sin^{2}\theta}{r^{3}}\right).
Como r é constante em relação a \theta,
\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\frac{\sin^{2}\theta}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r^{3}}\cdot 2\sin\theta\cos\theta=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{3}}.
Multiplicando por 1/(r\sin\theta) obtemos
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,A_{\theta}\big) =\frac{1}{r\sin\theta}\cdot\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{3}}=\frac{2\cos\theta}{r^{4}}.

Passo 7

Somando os dois termos (o termo em \varphi é zero) obtemos o divergente:
\nabla\cdot\vec{D}=-\frac{2\cos\theta}{r^{4}}+\frac{2\cos\theta}{r^{4}}=0
para todos os pontos onde r\neq 0 (ou seja, fora da origem). Note que o campo tem singularidade em r=0; a análise em termos de distribuições (delta de Dirac) pode revelar carga pontual na origem, mas no sentido clássico e pontual para r>0 o divergente é nulo.

Resposta

\rho=0\\ \left[\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}\right]

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