Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
Passo 1
O enunciado dá o vetor densidade de fluxo elétrico em coordenadas esféricas (componentes em
e
) e pede a densidade volumétrica de carga associada. Dados fornecidos:
-
(unidades: ).
O que se pede: determinar a densidade de carga(unidades: ) correspondente a esse campo .
Passo 2
Princípio físico/matemático que liga
e
: a forma diferencial da lei de Gauss para o campo elétrico em meios lineares é
Aqui
é a densidade volumétrica de carga (em
). Para calcular
precisamos então calcular o divergente de
.
Passo 3
Fórmula do divergente em coordenadas esféricas (variáveis
, com
o ângulo polar): se
, então
Nesta questão
, portanto o último termo desaparece.
Passo 4
Identificar as componentes do campo dado:
Passo 5
Calcular o primeiro termo do divergente:
Derivando em
:
Multiplicando por
temos
Passo 6
Calcular o segundo termo do divergente:
Como
é constante em relação a
,
Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Somando os dois termos (o termo em
é zero) obtemos o divergente:
para todos os pontos onde
(ou seja, fora da origem). Note que o campo tem singularidade em
; a análise em termos de distribuições (delta de Dirac) pode revelar carga pontual na origem, mas no sentido clássico e pontual para
o divergente é nulo.