Um campo eletromagnético no vácuo é descrito no domínio da frequência por E^{\rightarrow}=10 e^{-i k z} \hat{x}[\mathrm{~V} / \mathrm{m}]. Determine o valor de “k”, o campo magnético correspondente, \vec{e} e \vec{h}.
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte no domínio da frequência (ou seja, phasor espacial):
\vec{E}( \vec r ) = 10\,e^{-i k z}\,\hat{x}\quad[\text{V/m}].
O que é pedido:
o valor de k (relação entre k e a frequência/velocidade no vácuo);
o campo magnético correspondente (no domínio da frequência — ou seja, o phasor magnético);
\vec{e} e \vec{h} (as formas temporais reais associadas aos phasores, isto é, os campos no domínio do tempo).
Informações úteis que podemos usar sem pedir nada ao professor:
constantes do vácuo: a permissividade \epsilon_0 e a permeabilidade \mu_0;
velocidade da luz no vácuo c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0};
impedância característica do vácuo \eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\approx 377\\ \Omega.
Passo 2
Escolha de convenção de fase temporal (muito importante para o sinal das expressões no tempo). Vou usar a convenção de dependência temporal
e^{-i\omega t},
que é muito comum em física e em muitos textos de eletromagnetismo. Nesta convenção:
o phasor espacial \vec{E}(\vec r)=10 e^{-ikz}\hat{x} representa o campo total \vec{E}(\vec r,t)=\vec{E}(\vec r)e^{-i\omega t} antes de tomar a parte real;
o campo físico no tempo é a parte real: \vec{e}(\vec r,t)=\Re\{\vec{E}(\vec r)e^{-i\omega t}\}.
É preciso manter essa convenção durante toda a dedução para consistência dos sinais.
Passo 3
Relação entre k e \omega no vácuo (derivação e interpretação).
A partir das equações de Maxwell no vácuo e eliminando \vec{H}, chega-se à equação da onda para \vec{E}:
Encontrar o phasor do campo magnético \vec{H} correspondente usando as equações de Maxwell no domínio da frequência.
Em phasor (convenção e^{-i\omega t}) uma das formas úteis de Maxwell é
\nabla\times\vec{E}=i\omega\mu_0\,\vec{H}.
(A origem desta equação vem de \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t com \vec{B}=\mu_0\vec{H} e substituindo a dependência temporal e^{-i\omega t}.)
Calcule o rotacional do phasor \vec{E}=10e^{-ikz}\hat{x}. As componentes não nulas são
Breve intuição do sinal: com a convenção escolhida e^{-i\omega t} o phasor espacial e^{-ikz} corresponde a uma onda que transporta energia no sentido -z; a direção de \vec{H} (com o sinal negativo) garante que \vec{S}=\tfrac{1}{2}\Re\{\vec{E}\times\vec{H}^*\} aponte para -\hat{z}, consistente.
Passo 5
Construir os campos no domínio do tempo (\vec{e} e \vec{h}) a partir dos phasors, com a mesma convenção temporal.
Observação sobre o sinal do argumento do cosseno: por causa da convenção e^{-i\omega t} e do phasor e^{-ikz} a combinação dá \cos(kz+\omega t). Isso é coerente com a direção de propagação -\hat{z} (véu de fase deslocando-se nessa direção). Se alguém usar a convenção temporal oposta (e^{+i\omega t}), trocarão sinais e as expressões temporais ficariam com \cos(kz-\omega t).