Um campo eletromagnético no vácuo é descrito no domínio da frequência por E^{\rightarrow}=10 e^{-i k z} \hat{x}[\mathrm{~V} / \mathrm{m}]. Determine o valor de “k”, o campo magnético correspondente, \vec{e} e \vec{h}.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte no domínio da frequência (ou seja, phasor espacial):
\vec{E}( \vec r ) = 10\,e^{-i k z}\,\hat{x}\quad[\text{V/m}].
O que é pedido:
  • o valor de k (relação entre k e a frequência/velocidade no vácuo);
  • o campo magnético correspondente (no domínio da frequência — ou seja, o phasor magnético);
  • \vec{e} e \vec{h} (as formas temporais reais associadas aos phasores, isto é, os campos no domínio do tempo).
Informações úteis que podemos usar sem pedir nada ao professor:
  • constantes do vácuo: a permissividade \epsilon_0 e a permeabilidade \mu_0;
  • velocidade da luz no vácuo c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0};
  • impedância característica do vácuo \eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\approx 377\\ \Omega.

Passo 2

Escolha de convenção de fase temporal (muito importante para o sinal das expressões no tempo). Vou usar a convenção de dependência temporal
e^{-i\omega t},
que é muito comum em física e em muitos textos de eletromagnetismo. Nesta convenção:
  • o phasor espacial \vec{E}(\vec r)=10 e^{-ikz}\hat{x} representa o campo total \vec{E}(\vec r,t)=\vec{E}(\vec r)e^{-i\omega t} antes de tomar a parte real;
  • o campo físico no tempo é a parte real: \vec{e}(\vec r,t)=\Re\{\vec{E}(\vec r)e^{-i\omega t}\}.
    É preciso manter essa convenção durante toda a dedução para consistência dos sinais.

Passo 3

Relação entre k e \omega no vácuo (derivação e interpretação).
  • A partir das equações de Maxwell no vácuo e eliminando \vec{H}, chega-se à equação da onda para \vec{E}:
\nabla^2 \vec{E} - \mu_0\epsilon_0\,\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=0.
  • Para soluções harmônicas no tempo \propto e^{-i\omega t} obtemos a relação de dispersão
k^2=\omega^2\mu_0\epsilon_0.
  • Portanto
\boxed{\,k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0 \,}=\frac{\omega}{c}\,.}
Explicando símbolos:
  • \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f);
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m});
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \epsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m});
  • c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\approx 2{,}99792458\times10^8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Encontrar o phasor do campo magnético \vec{H} correspondente usando as equações de Maxwell no domínio da frequência.
  • Em phasor (convenção e^{-i\omega t}) uma das formas úteis de Maxwell é
\nabla\times\vec{E}=i\omega\mu_0\,\vec{H}.
(A origem desta equação vem de \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t com \vec{B}=\mu_0\vec{H} e substituindo a dependência temporal e^{-i\omega t}.)
  • Calcule o rotacional do phasor \vec{E}=10e^{-ikz}\hat{x}. As componentes não nulas são
(\nabla\times\vec{E})_y=\frac{\partial E_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(10e^{-ikz}\big)=-ik\cdot 10e^{-ikz}.
Logo
\nabla\times\vec{E} = -ik\cdot 10 e^{-ikz}\,\hat{y}.
  • Substituindo em \nabla\times\vec{E}=i\omega\mu_0\vec{H} obtemos
-ik\cdot 10 e^{-ikz}\,\hat{y}=i\omega\mu_0\,\vec{H}.
  • Isolando \vec{H}:
\vec{H} = \frac{-ik\cdot 10 e^{-ikz}}{i\omega\mu_0}\,\hat{y} = -\frac{k}{\omega\mu_0}\,10 e^{-ikz}\,\hat{y}.
  • Usando k/\omega=\sqrt{\mu_0\epsilon_0} resulta
\vec{H} = -10\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}\,e^{-ikz}\,\hat{y} = -\frac{10}{\eta_0}\,e^{-ikz}\,\hat{y},
onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0} é a impedância do vácuo.
  • Numericamente, com \eta_0\approx 377\\ \Omega,
\left|\vec{H}\right| = \frac{10}{\eta_0}\approx \frac{10}{377}\approx 0{,}0265\\ \mathrm{A/m},
e o sinal negativo indica que \vec{H} aponta na direção -\hat{y} (isto é, \vec{H}=-0{,}0265\,e^{-ikz}\,\hat{y} em A/m no domínio da frequência).
  • Se for preciso o vetor \vec{B} (indução magnética), use \vec{B}=\mu_0\vec{H}, logo o phasor \vec{B} tem amplitude
|\vec{B}|=\mu_0\frac{10}{\eta_0}=10\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\approx 3{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.
Breve intuição do sinal: com a convenção escolhida e^{-i\omega t} o phasor espacial e^{-ikz} corresponde a uma onda que transporta energia no sentido -z; a direção de \vec{H} (com o sinal negativo) garante que \vec{S}=\tfrac{1}{2}\Re\{\vec{E}\times\vec{H}^*\} aponte para -\hat{z}, consistente.

Passo 5

Construir os campos no domínio do tempo ( \vec{e} e \vec{h}) a partir dos phasors, com a mesma convenção temporal.
  • A regra de transformação é:
\vec{e}(\vec r,t)=\Re\{\vec{E}(\vec r)\,e^{-i\omega t}\},\qquad \vec{h}(\vec r,t)=\Re\{\vec{H}(\vec r)\,e^{-i\omega t}\}.
  • Substituindo \vec{E}=10e^{-ikz}\hat{x}:
\vec{e}(z,t)=\Re\{10e^{-ikz}e^{-i\omega t}\}\,\hat{x} =10\cos(kz+\omega t)\,\hat{x}.
  • Substituindo \vec{H}=-\dfrac{10}{\eta_0}e^{-ikz}\hat{y}:
\vec{h}(z,t)=\Re\Big\{-\frac{10}{\eta_0}e^{-ikz}e^{-i\omega t}\Big\}\,\hat{y} =-\frac{10}{\eta_0}\cos(kz+\omega t)\,\hat{y}.
  • Observação sobre o sinal do argumento do cosseno: por causa da convenção e^{-i\omega t} e do phasor e^{-ikz} a combinação dá \cos(kz+\omega t). Isso é coerente com a direção de propagação -\hat{z} (véu de fase deslocando-se nessa direção). Se alguém usar a convenção temporal oposta ( e^{+i\omega t}), trocarão sinais e as expressões temporais ficariam com \cos(kz-\omega t).

Resposta

k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=\dfrac{\omega}{c}.\
\displaystyle \vec{H}(z)= -\dfrac{10}{\eta_0}\,e^{-ikz}\,\hat{y}\quad\big[\mathrm{A/m}\big], com \eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\approx 377\\ \Omega.\
\displaystyle \vec{e}(z,t)=10\cos\big(kz+\omega t\big)\,\hat{x}\quad\big[\mathrm{V/m}\big].\
\displaystyle \vec{h}(z,t)=-\dfrac{10}{\eta_0}\cos\big(kz+\omega t\big)\,\hat{y}\quad\big[\mathrm{A/m}\big].

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