Seja
um número inteiro positivo ímpar. Mostre que a soma de
temos consecutivos de uma progressão aritmética com elementos em
é divisível por n .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número inteiro positivo ímpar, chamado
. Precisamos mostrar que a soma de
termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) com elementos inteiros é divisível por
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre progressões aritméticas e propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Primeiro, lembremos que em uma progressão aritmética, cada termo depois do primeiro é obtido adicionando uma constante chamada razão (
) ao termo anterior. Então, os
termos consecutivos da PA podem ser escritos como:
onde
é o primeiro termo da sequência.
Passo 3
A soma dos
termos de uma PA pode ser calculada usando a fórmula da soma:
Aqui,
representa a soma dos
termos.
Passo 4
Agora, nosso objetivo é mostrar que
é divisível por
. Vamos analisar a expressão da soma:
Podemos fatorar o
da seguinte maneira:
Passo 5
Para que
seja divisível por
, a expressão dentro dos parênteses precisa ser um número inteiro. Vamos verificar essa condição. Como
é ímpar,
é par. Portanto,
é múltiplo de 2, já que qualquer número par multiplicado por um inteiro
continua sendo par:
Como
é um número inteiro (porque
é par e
é inteiro), a soma
também é um inteiro.
Passo 6
Portanto, temos que:
Isso significa que
é divisível por
, já que estamos multiplicando
por um número inteiro.
Resposta
A soma de
termos consecutivos de uma progressão aritmética com elementos em
é divisível por
.