Seja 
  um número inteiro positivo ímpar. Mostre que a soma de 
  temos consecutivos de uma progressão aritmética com elementos em 
  é divisível por n .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número inteiro positivo ímpar, chamado 
 . Precisamos mostrar que a soma de 
  termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) com elementos inteiros é divisível por 
 . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre progressões aritméticas e propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Primeiro, lembremos que em uma progressão aritmética, cada termo depois do primeiro é obtido adicionando uma constante chamada razão (
 ) ao termo anterior. Então, os 
  termos consecutivos da PA podem ser escritos como:
onde 
  é o primeiro termo da sequência.
Passo 3
A soma dos 
  termos de uma PA pode ser calculada usando a fórmula da soma:
Aqui, 
  representa a soma dos 
  termos.
Passo 4
Agora, nosso objetivo é mostrar que 
  é divisível por 
 . Vamos analisar a expressão da soma:
Podemos fatorar o 
  da seguinte maneira:
Passo 5
Para que 
  seja divisível por 
 , a expressão dentro dos parênteses precisa ser um número inteiro. Vamos verificar essa condição. Como 
  é ímpar, 
  é par. Portanto, 
  é múltiplo de 2, já que qualquer número par multiplicado por um inteiro 
  continua sendo par:
Como 
  é um número inteiro (porque 
  é par e 
  é inteiro), a soma 
  também é um inteiro.
Passo 6
Portanto, temos que:
Isso significa que 
  é divisível por 
 , já que estamos multiplicando 
  por um número inteiro.
Resposta
A soma de 
  termos consecutivos de uma progressão aritmética com elementos em 
  é divisível por 
 .