Seja n um número inteiro positivo ímpar. Mostre que a soma de n temos consecutivos de uma progressão aritmética com elementos em Z é divisível por n .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número inteiro positivo ímpar, chamado . Precisamos mostrar que a soma de termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) com elementos inteiros é divisível por . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre progressões aritméticas e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Primeiro, lembremos que em uma progressão aritmética, cada termo depois do primeiro é obtido adicionando uma constante chamada razão ( a, , a + r, , a + 2r, , dots, , a + (n-1)r ) ao termo anterior. Então, os termos consecutivos da PA podem ser escritos como:
onde é o primeiro termo da sequência.

Passo 3

A soma dos Sn = n2 times (2a + (n-1)r) termos de uma PA pode ser calculada usando a fórmula da soma:
Aqui, representa a soma dos termos.

Passo 4

Agora, nosso objetivo é mostrar que Sn = n2 times (2a + (n-1)r) é divisível por Sn = n times ( 2a + (n-1)r2 ) . Vamos analisar a expressão da soma:
Podemos fatorar o da seguinte maneira:

Passo 5

Para que 2a + (n-1)r2 = a + (n-1)r2 seja divisível por , a expressão dentro dos parênteses precisa ser um número inteiro. Vamos verificar essa condição. Como é ímpar, é par. Portanto, é múltiplo de 2, já que qualquer número par multiplicado por um inteiro continua sendo par:
Como é um número inteiro (porque é par e é inteiro), a soma também é um inteiro.

Passo 6

Portanto, temos que:
Sn = n times inteiro
Isso significa que é divisível por , já que estamos multiplicando por um número inteiro.

Resposta

A soma de termos consecutivos de uma progressão aritmética com elementos em é divisível por .

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