Verifique se o conjunto 
  com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre 
 .
 , onde 
 , com as seguintes operações:
 
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto 
  composto por pares ordenados 
 , onde 
  é qualquer número real e 
  é um número real diferente de zero. As operações definidas são uma soma e uma multiplicação por escalar:
O objetivo é verificar se 
  com essas operações forma um espaço vetorial sobre os reais 
 . Para isso, precisamos checar se todas as axiomas de espaços vetoriais são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, o conjunto 
  precisa satisfazer vários axiomas, como existência de identidade para a soma, existência de inversos, associatividade, comutatividade da soma, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros.
Vamos começar verificando se existe um elemento neutro para a soma em 
 .
Passo 3
Axioma da identidade aditiva: Deve existir um elemento 
  em 
  tal que para qualquer 
 :
Isso implica que 
 . Então, o elemento neutro seria 
 . Como 
 , esse elemento pertence a 
 . Assim, o axioma da identidade aditiva está satisfeito.
Passo 4
Axioma dos inversos aditivos: Para cada 
 , deve existir um elemento 
  em 
  tal que:
Como 
  é diferente de zero, 
  também pertence a 
 . Portanto, os inversos aditivos existem e pertencem a 
 .
Passo 5
Axioma da comutatividade da soma: A soma definida é 
 . Como a adição de números reais é comutativa e a multiplicação de números reais também é comutativa, a soma em 
  é comutativa.
Portanto, esse axioma está satisfeito.
Passo 6
Axioma da associatividade da soma: Vamos verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Como a multiplicação é associativa, temos:
Logo, o axioma da associatividade da soma também é satisfeito.
Passo 7
Axioma da multiplicação por escalar (distributividade em relação à soma de vetores): Vamos verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 8
Axioma da multiplicação por escalar (distributividade em relação à soma de escalares): Verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 9
Axioma da multiplicação por escalar (associatividade da multiplicação): Verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 10
Axioma da multiplicação por escalar (elemento neutro): Verificar se:
Calculando:
Portanto, o axioma do elemento neutro para a multiplicação por escalar está satisfeito.
Passo 11
Axioma da multiplicação por escalar (compatibilidade com o escalar identidade): Verificar se:
Já vimos no passo anterior que isso é verdade:
Então, esse axioma também está satisfeito.
Passo 12
Apesar de todos os axiomas terem sido verificados e parecerem estar satisfeitos, precisamos analisar se todas as operações estão bem definidas e se mantêm os elementos dentro de 
 .
Note que na multiplicação por escalar, a componente 
  é elevada a 
 . Se 
  for um número real e 
  for negativo, 
  pode não estar definido dentro dos números reais (dependendo do valor de 
 ). Por exemplo, se 
  e 
 , 
  não está definido nos reais.
Isso significa que nem sempre a multiplicação por escalar mantém o elemento dentro de 
 , o que viola um dos axiomas fundamentais dos espaços vetoriais.
Resposta
Não, o conjunto 
  com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre 
 , pois a multiplicação por escalar pode não manter os elementos dentro de 
 .