(4) Seja
um número natural, com
. Verifique as seguintes fórmulas de recorrência:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas fórmulas de recorrência envolvendo integrais de potências de funções trigonométricas. O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
e o uso das identidades trigonométricas básicas, em particular
e
.
Passo 2
Derivação de
. Escrevemos
e aplicamos integração por partes tomando
Então
Pela fórmula,
Usando
na integral,
Agrupando os termos
em um mesmo lado, obtemos
logo
Passo 3
Derivação de
. Similarmente,
e escolhemos
Isso dá
Integração por partes:
Usando
,
Reagrupando,
e daí
Resposta
(a)
(b)
(b)