(4) Seja n um número natural, com n \geq 2. Verifique as seguintes fórmulas de recorrência:
(a) \int \operatorname{sen}^{n}(x) d x=-\frac{1}{n} \operatorname{sen}^{n-1}(x) \cos (x)+\frac{n-1}{n} \int \operatorname{sen}^{n-2}(x) d x;
(b) \int \cos ^{n}(x) d x=\frac{1}{n} \cos ^{n-1}(x) \operatorname{sen}(x)+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2}(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas fórmulas de recorrência envolvendo integrais de potências de funções trigonométricas. O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
e o uso das identidades trigonométricas básicas, em particular \cos^2(x)=1-\sin^2(x) e \sin^2(x)=1-\cos^2(x).

Passo 2

Derivação de \displaystyle \int \sin^n(x)\,dx. Escrevemos
\int \sin^n(x)\,dx = \int \sin^{n-1}(x)\,\sin(x)\,dx
e aplicamos integração por partes tomando
u = \sin^{n-1}(x), \quad dv = \sin(x)\,dx.
Então
du = (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x)\,dx, \quad v = -\cos(x).
Pela fórmula,
\int \sin^n(x)\,dx = -\sin^{n-1}(x)\cos(x) - \int \bigl(-\cos(x)\bigr)\,(n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x)\,dx
= -\sin^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \sin^{n-2}(x)\cos^2(x)\,dx.
Usando \cos^2(x)=1-\sin^2(x) na integral,
\int \sin^n(x)\,dx = -\sin^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \sin^{n-2}(x)\,dx - (n-1)\int \sin^{n}(x)\,dx.
Agrupando os termos \int \sin^n(x)\,dx em um mesmo lado, obtemos
n\!\int \sin^n(x)\,dx = -\sin^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\!\int \sin^{n-2}(x)\,dx,
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\int \sin^n(x)\,dx = -\frac{1}{n}\,\sin^{n-1}(x)\cos(x) + \frac{n-1}{n}\,\int \sin^{n-2}(x)\,dx.

Passo 3

Derivação de \displaystyle \int \cos^n(x)\,dx. Similarmente,
\int \cos^n(x)\,dx = \int \cos^{n-1}(x)\,\cos(x)\,dx
e escolhemos
u = \cos^{n-1}(x), \quad dv = \cos(x)\,dx.
Isso dá
du = -(n-1)\cos^{n-2}(x)\sin(x)\,dx, \quad v = \sin(x).
Integração por partes:
\int \cos^n(x)\,dx = \cos^{n-1}(x)\sin(x) - \int \sin(x)\,\bigl[-(n-1)\cos^{n-2}(x)\sin(x)\bigr]\,dx
= \sin(x)\cos^{n-1}(x) + (n-1)\int \cos^{n-2}(x)\sin^2(x)\,dx.
Usando \sin^2(x)=1-\cos^2(x),
\int \cos^n(x)\,dx = \sin(x)\cos^{n-1}(x) + (n-1)\int \cos^{n-2}(x)\,dx - (n-1)\int \cos^n(x)\,dx.
Reagrupando,
n\!\int \cos^n(x)\,dx = \sin(x)\cos^{n-1}(x) + (n-1)\!\int \cos^{n-2}(x)\,dx,
e daí
\int \cos^n(x)\,dx = \frac{1}{n}\,\cos^{n-1}(x)\sin(x) + \frac{n-1}{n}\,\int \cos^{n-2}(x)\,dx.

Resposta

(a) \displaystyle \int \sin^{n}(x)\,dx = -\frac{1}{n}\,\sin^{n-1}(x)\cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}(x)\,dx.
(b) \displaystyle \int \cos^{n}(x)\,dx = \frac{1}{n}\,\cos^{n-1}(x)\sin(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\,dx.

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