- Seja (
) uma sequência de números complexos.
(a) Mostre que se
, então
.
(b) Se ocorrer
, pode-se afirmar que vale
? Justifique.
(a) Mostre que se
(b) Se ocorrer
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência
de números complexos e pede duas coisas:
- (teoria de limites e continuidade) provar que se
então
- Verificar se a recíproca é válida: sabendo apenas que
podemos concluir que
?
Para resolver a parte (a) vamos usar a definição de limite e a desigualdade triangular; na parte (b) basta apresentar um contraexemplo simples.
Passo 2
Queremos mostrar que se
então
.
Pela desigualdade triangular “reversa” sabemos que, para todo
,
Como
, dado
existe
tal que, para
,
Logo, para
,
o que, pela definição de limite, implica
Passo 3
Agora, suponha apenas que
Isso não garante que
convirja para
. Por exemplo, defina
Então para todo
vale
, logo
Podemos tomar
(ou até
), pois
. Mas a sequência
não converge em
: ela oscila entre
e
.
Portanto, conhecer o limite dos módulos não basta para garantir o limite da própria sequência.
Resposta
(a) Usando
e a definição de limite, obtemos
.
(b) Não. Por exemplo, tem
mas não converge em
.
(b) Não. Por exemplo,