Seja F=nabla(x^2 y+2 x y^2). Seja C o quarto da elipse 9 x^2+4 y^2=1 percorrida do eixo positivo x até o eixo positivo y.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem o vetor campo F = nabla(x^2 y + 2x y^2) e uma curva C que é um quarto de elipse dada por 9x^2 + 4y^2 = 1. O caminho vai do eixo positivo x até o eixo positivo y. Nosso objetivo aqui é calcular a integral de linha desse campo vetorial ao longo dessa curva. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa F ser o gradiente de uma função escalar. Quando temos F = nablaphi, isso quer dizer que F é um campo conservativo, ou seja, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

A função phi é dada por x^2 y + 2x y^2. Para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, podemos usar o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos, que nos diz que:
integralC F cdot dr = phi(Q) - phi(P)
onde P é o ponto inicial e Q é o ponto final da curva C.

Passo 4

Vamos identificar os pontos P e Q na curva C. A curva é um quarto de elipse 9x^2 + 4y^2 = 1 que vai do eixo positivo x até o eixo positivo y.
  • No eixo positivo x, y = 0. Substituindo na equação da elipse:
9x^2 + 4(0)^2 = 1 Rightarrow x = 13
Então, P = (13, 0).
  • No eixo positivo y, x = 0. Substituindo:
9(0)^2 + 4y^2 = 1 Rightarrow y = 12
Então, Q = (0, 12).

Passo 5

Agora, vamos calcular phi(Q) - phi(P).
  • Calculando phi em Q:
phi(0, 12) = (0)^2 cdot 12 + 2 cdot 0 cdot (12)^2 = 0 + 0 = 0
  • Calculando phi em P:
phi(13, 0) = (13)^2 cdot 0 + 2 cdot 13 cdot 0^2 = 0 + 0 = 0

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr é igual a 0.

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