Seja
. Seja
o quarto da elipse
percorrida do eixo positivo
até o eixo positivo
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem o vetor campo
e uma curva
que é um quarto de elipse dada por
. O caminho vai do eixo positivo
até o eixo positivo
. Nosso objetivo aqui é calcular a integral de linha desse campo vetorial ao longo dessa curva. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser o gradiente de uma função escalar. Quando temos
, isso quer dizer que
é um campo conservativo, ou seja, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
A função
é dada por
. Para calcular a integral de linha
, podemos usar o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos, que nos diz que:
onde
é o ponto inicial e
é o ponto final da curva
.
Passo 4
Vamos identificar os pontos
e
na curva
. A curva é um quarto de elipse
que vai do eixo positivo
até o eixo positivo
.
- No eixo positivo
, . Substituindo na equação da elipse:
Então,
.
- No eixo positivo
, . Substituindo:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
.
- Calculando
em :
- Calculando
em :
Resposta
A integral de linha
é igual a
.