Para F=y x^3 i+y^2 j, encontre integralC F cdot d r sobre a porção da curva y=x^2 de (0,0) até (1,1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha da função vetorial F = y x^3 i + y^2 j ao longo da curva y = x^2 indo de (0,0) até (1,1). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. Como a curva é dada por y = x^2 e estamos indo de x = 0 até x = 1, podemos usar x como parâmetro. Vamos definir:
x = t onde t in [0, 1]
Então, y = t^2. A parametrização da curva fica:
r(t) = t, i + t^2, j

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de r(t) em relação a t para obter dr:
drdt = ddt(t, i + t^2, j) = i + 2t, j
Então:
dr = (i + 2t, j) dt

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função F. Sabemos que:
F = y x^3 i + y^2 j
Substituindo x = t e y = t^2:
F(t) = t^2 cdot t^3 i + (t^2)^2 j = t^5 i + t^4 j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (t^5 i + t^4 j) cdot (i + 2t, j) = t^5 cdot 1 + t^4 cdot 2t = t^5 + 2t^5 = 3t^5

Passo 6

Agora, integramos 3t^5 em relação a t de 0 a 1:
integral0^1 3t^5 dt = 3 cdot [ t^66 ]0^1 = 3 cdot ( 16 - 0 ) = 36 = 12

Resposta

O valor da integral de linha é 12.

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