Seja \Omega um domínio onde vale o Teorema de Gauss e seja u \in \mathcal{C}^{2}(\bar{\Omega}), tal que \triangle u=0 em \Omega. Então valem as identidades de Green.
\iint_{\bar{\Omega}}|\nabla u|^{2} d x d y=\int_{\partial \Omega} u \cdot \frac{\partial u}{\partial n} d s
e
\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} d s=0
Sugestão: Para mostrar a primeira igualdade tome u=v Para mostrar a segunda igualdade basta tomar v \equiv 1 a primeira.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas identidades de Green para uma função harmônica u\in\mathcal C^2(\bar\Omega) em um domínio \Omega onde vale o Teorema de Gauss (divergência). Vamos usar o fato de que, para duas funções suficientemente suaves u e v,
\nabla\!\cdot\!(v\,\nabla u) = v\,\Delta u + \nabla v\cdot\nabla u,
e depois aplicar o Teorema de Gauss:
\iint_{\Omega}\nabla\!\cdot\!(v\,\nabla u)\,dA =\int_{\partial\Omega}v\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds.

Passo 2

Integramos a identidade da divergência sobre \Omega. Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{\Omega}\nabla\!\cdot\!(v\,\nabla u)\,dA =\int_{\partial\Omega}v\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds.
Por outro lado,
\nabla\!\cdot\!(v\,\nabla u) = v\,\Delta u + \nabla v\cdot\nabla u.
Logo,
\iint_{\Omega}\bigl(v\,\Delta u + \nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dA =\int_{\partial\Omega}v\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds.

Passo 3

Reorganizando a igualdade do passo anterior, obtemos a forma geral da primeira identidade de Green:
\iint_{\Omega}\nabla v\cdot\nabla u\,dA =\int_{\partial\Omega}v\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds - \iint_{\Omega}v\,\Delta u\,dA.

Passo 4

Para a primeira identidade do enunciado, tomamos v=u. Como \Delta u=0 em \Omega, a última integral some, restando
\iint_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dA =\int_{\partial\Omega}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds.

Passo 5

Para a segunda identidade, tomamos v\equiv1. Então \nabla v=0 e v\,\Delta u=\Delta u, e temos
\iint_{\Omega}0\,dA + \iint_{\Omega}\Delta u\,dA =\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds.
Como \Delta u=0, a integral no interior é zero, logo
\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=0.

Resposta

\iint_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dA =\int_{\partial\Omega}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds,
\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=0.

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