Seja \Omega um domínio onde vale o Teorema de Gauss e sejam u, v \in \mathcal{C}^{2}(\bar{\Omega}). Então valem as famosas identidades de Green.
\iiint_{\bar{\Omega}}(v \cdot \Delta u+\nabla v \cdot \nabla u) d x d y=\iint_{\partial \Omega} v \cdot \frac{\partial u}{\partial n} d s
e
\iiint_{\bar{\Omega}}(v \cdot \Delta u+u \cdot \Delta v) d x d y=\iint_{\partial \Omega}\left(v \cdot \frac{\partial u}{\partial n}-u \cdot \frac{\partial v}{\partial n}\right) d s
onde \frac{\partial}{\partial n} é a derivada direcional da direção do vetor normal unitária externa.
Sugestão: Para mostrar a primeira igualdade tome F=v . \nabla u. Para mostrar a segunda igualdade basta usar a primeira.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, num domínio \Omega onde vale o Teorema de Gauss, que para u,v\in\mathcal{C}^2(\bar\Omega) valem as identidades de Green:
\iiint_{\bar\Omega}\bigl(v\,\Delta u + \nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dx = \iint_{\partial\Omega}v\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds
e
\iiint_{\bar\Omega}\bigl(v\,\Delta u + u\,\Delta v\bigr)\,dx = \iint_{\partial\Omega}\Bigl(v\,\frac{\partial u}{\partial n}-u\,\frac{\partial v}{\partial n}\Bigr)\,ds.
Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) e cálculo de divergência de campos vetoriais.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
\mathbf F = v\,\nabla u.
Calculamos sua divergência:
\nabla\cdot\mathbf F = \nabla\cdot\bigl(v\,\nabla u\bigr) = v\,\Delta u + \nabla v\cdot\nabla u.

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss,
\iiint_{\bar\Omega}\nabla\cdot\mathbf F\,dx = \iint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds.
Mas \mathbf F\cdot\mathbf n = v\,\nabla u\cdot\mathbf n = v\,\frac{\partial u}{\partial n}. Logo,
\iiint_{\bar\Omega}\bigl(v\,\Delta u + \nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dx = \iint_{\partial\Omega}v\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds,
que é a primeira identidade de Green.

Passo 4

Repetimos o mesmo raciocínio trocando u\leftrightarrow v. Isso dá
\iiint_{\bar\Omega}\bigl(u\,\Delta v + \nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dx = \iint_{\partial\Omega}u\,\frac{\partial v}{\partial n}\,ds.

Passo 5

Subtraindo a identidade obtida em

Passo 6

\iiint_{\bar\Omega}\bigl(v\,\Delta u - u\,\Delta v\bigr)\,dx = \iint_{\partial\Omega}\Bigl(v\,\frac{\partial u}{\partial n}-u\,\frac{\partial v}{\partial n}\Bigr)\,ds,
o que é equivalente à segunda identidade de Green.

Resposta

As duas identidades de Green foram demonstradas conforme os passos acima.

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