Seja f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa no aberto conexo \Omega \subset \mathbb{C}. Prove que f é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
f(\Omega) \subset\{x+i y \in \mathbb{C} ; a x+b y+c=0\}, estando fixados números reais não todos nulos a, b e c.

Passo 1

O enunciado diz que f:\Omega\to\mathbb{C} é holomorfa num aberto conexo \Omega e que a imagem de f está contida na reta real \,a x + b y + c = 0. Queremos mostrar que isso força f a ser constante. O material que vamos usar é a combinação linear complexa de f para obter uma função cuja parte real seja constante e então aplicar as equações de Cauchy–Riemann (ou o Teorema do Mapeamento Aberto).

Passo 2

Escrevendo f(z)=x(z)+i\,y(z), considere a função
\varphi(z) \;=\;(a - i\,b)\,f(z).
Como
f(z)=x+i\,y \quad\Longrightarrow\quad \varphi(z)=(a-i\,b)(x+i\,y) = (a\,x+b\,y)+i\bigl(a\,y - b\,x\bigr),
temos
\Re\varphi(z)=a\,x(z)+b\,y(z).
Pela hipótese a\,x(z)+b\,y(z)+c=0 para todo z, segue
\Re\varphi(z)=-\,c.
Defina então
h(z)=\varphi(z)+c.
Logo
\Re h(z)=0 \quad\forall z\in\Omega,
ou seja, a parte real de h é identicamente nula.

Passo 3

Como h é holomorfa em \Omega e \Re h\equiv0, escrevendo h=u+ i\,v temos u\equiv0. As equações de Cauchy–Riemann dizem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Mas u_x=u_y=0, logo v_x=v_y=0. Portanto v é constante e, consequentemente, h é constante em \Omega.

Passo 4

Da constância de h segue que \varphi(z)=h(z)-c também é constante. Como a e b não são ambos nulos, temos a - i\,b\neq0, de modo que
f(z) \;=\;\frac{\varphi(z)}{a - i\,b}
é igualmente constante em \Omega.

Resposta

A função f é constante.

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