Seja
uma função holomorfa no aberto conexo
. Prove que
é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
, estando fixados números reais não todos nulos
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é holomorfa num aberto conexo
e que a imagem de
está contida na reta real
. Queremos mostrar que isso força
a ser constante. O material que vamos usar é a combinação linear complexa de
para obter uma função cuja parte real seja constante e então aplicar as equações de Cauchy–Riemann (ou o Teorema do Mapeamento Aberto).
Passo 2
Escrevendo
, considere a função
Como
temos
Pela hipótese
para todo
, segue
Defina então
Logo
ou seja, a parte real de
é identicamente nula.
Passo 3
Como
é holomorfa em
e
, escrevendo
temos
. As equações de Cauchy–Riemann dizem
Mas
, logo
. Portanto
é constante e, consequentemente,
é constante em
.
Passo 4
Da constância de
segue que
também é constante. Como
e
não são ambos nulos, temos
, de modo que
é igualmente constante em
.
Resposta
A função
é constante.