1. Verifique se existe \lim _{n \rightarrow \infty}\left[i+\left(\frac{4}{5}+i \frac{3}{5}\right)^{n}\right].

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência do limite
\lim_{n\to\infty}\Bigl[i+\Bigl(\frac{4}{5}+i\,\frac{3}{5}\Bigr)^n\Bigr].
O conteúdo é sequência de números complexos e vamos precisar usar a forma polar para analisar o comportamento de \bigl(\tfrac{4}{5}+i\,\tfrac{3}{5}\bigr)^n.

Passo 2

Definimos
z = \frac{4}{5} + i\,\frac{3}{5}.
Calculamos o módulo de z:
|z| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{1} = 1.
Como |z|=1, z está na circunferência unitária.

Passo 3

Escrevemos z em forma polar. Seja \varphi = \arg(z). Então
z = e^{i\varphi},\quad \varphi = \arctan\!\Bigl(\tfrac{3/5}{4/5}\Bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)\neq 0 \pmod{2\pi}.
Logo
z^n = e^{i n\varphi} = \cos(n\varphi) + i\,\sin(n\varphi).
O termo geral da sequência é
a_n = i + z^n = \cos(n\varphi) + i\bigl(1 + \sin(n\varphi)\bigr).

Passo 4

Para que a_n convergisse, suas partes real e imaginária teriam de convergir simultaneamente. Mas
\Re(a_n) = \cos(n\varphi),\qquad \Im(a_n) = 1 + \sin(n\varphi),
e como \varphi não é múltiplo de \pi, as sequências \cos(n\varphi) e \sin(n\varphi) oscilam sem tender a valor único.

Passo 5

Como nenhuma das partes (real ou imaginária) converge, a sequência a_n não converge. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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