Seja
uma operação definida em
por
, para todo
. Encontre uma identidade para
é um grupo?
Passo 1
O enunciado define uma operação em
e pede duas coisas. Informações dadas e perguntas:
- Para todo
está definida a operação
- Perguntas:
- Encontrar um elemento identidade para
. - Determinar se
é um grupo (isto é, verificar os axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de identidade e de inversos).
- Encontrar um elemento identidade para
Passo 2
Definição e ideia do que é identidade: um elemento
é identidade para
se, para todo
,
Vamos usar a definição dada da operação e resolver para
.
Passo 3
Calcular
e obter equação para
:
Queremos
. Então
Verificamos também
:
logo
funciona à esquerda e à direita. Portanto o elemento identidade é
.
Passo 4
Fechamento: explicar e verificar. Fechamento significa: para quaisquer
, o resultado
também deve estar em
.
Pela definição,
Pela definição,
soma e subtração de inteiros dão inteiros, então
. Assim o fechamento vale.
Passo 5
Associatividade: explicar o que é e verificar com cálculo direto. Associatividade significa que para todos
deve valer
Calculemos os dois lados usando a fórmula da operação.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados são iguais para quaisquer
, a operação é associativa.
Passo 6
Existência de inversos: definição e cálculo. Para ser grupo, cada
deve ter um inverso
tal que
onde
é a identidade encontrada.
Resolva
para
:
Como
, tem-se
. Verificação direta:
Logo todo
tem inverso
em
.
Passo 7
Observação extra (útil na prova): com associatividade, fechamento, identidade
e inversos
para cada
, todos os axiomas de grupo estão satisfeitos. Além disso, a operação é comutativa porque
então
é um grupo abeliano.
Resposta
Sim