Seja * uma operação definida em \mathbb{Z} por a * b=a+b-1, para todo a, b \in \mathbb{Z}. Encontre uma identidade para * .(\mathbb{Z}, *) é um grupo?

Passo 1

O enunciado define uma operação em \mathbb{Z} e pede duas coisas. Informações dadas e perguntas:
  • Para todo a,b\in\mathbb{Z} está definida a operação
a * b = a + b - 1.
  • Perguntas:
    1. Encontrar um elemento identidade para *.
    2. Determinar se (\mathbb{Z},*) é um grupo (isto é, verificar os axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de identidade e de inversos).

Passo 2

Definição e ideia do que é identidade: um elemento e\in\mathbb{Z} é identidade para * se, para todo a\in\mathbb{Z},
a * e = a \qquad\text{e}\qquad e * a = a.
Vamos usar a definição dada da operação e resolver para e.

Passo 3

Calcular a * e e obter equação para e:
a * e = a + e - 1.
Queremos a * e = a. Então
a + e - 1 = a \quad\Rightarrow\quad e - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad e = 1.
Verificamos também e * a:
e * a = e + a - 1 = 1 + a - 1 = a,
logo e=1 funciona à esquerda e à direita. Portanto o elemento identidade é 1.

Passo 4

Fechamento: explicar e verificar. Fechamento significa: para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}, o resultado a*b também deve estar em \mathbb{Z}.
Pela definição,
a * b = a + b - 1,
soma e subtração de inteiros dão inteiros, então a*b\in\mathbb{Z}. Assim o fechamento vale.

Passo 5

Associatividade: explicar o que é e verificar com cálculo direto. Associatividade significa que para todos a,b,c\in\mathbb{Z} deve valer
(a * b) * c = a * (b * c).
Calculemos os dois lados usando a fórmula da operação.
Lado esquerdo:
(a * b) * c = (a + b - 1) * c = (a + b - 1) + c - 1 = a + b + c - 2.
Lado direito:
a * (b * c) = a * (b + c - 1) = a + (b + c - 1) - 1 = a + b + c - 2.
Como os dois lados são iguais para quaisquer a,b,c, a operação é associativa.

Passo 6

Existência de inversos: definição e cálculo. Para ser grupo, cada a\in\mathbb{Z} deve ter um inverso a^{-1}\in\mathbb{Z} tal que
a * a^{-1} = 1 \qquad\text{e}\qquad a^{-1} * a = 1,
onde 1 é a identidade encontrada.
Resolva a * x = 1 para x:
a + x - 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad a + x = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 2 - a.
Como a\in\mathbb{Z}, tem-se x=2-a\in\mathbb{Z}. Verificação direta:
a * (2-a) = a + (2-a) - 1 = 1,
(2-a) * a = (2-a) + a - 1 = 1.
Logo todo a tem inverso 2-a em \mathbb{Z}.

Passo 7

Observação extra (útil na prova): com associatividade, fechamento, identidade 1 e inversos 2-a para cada a, todos os axiomas de grupo estão satisfeitos. Além disso, a operação é comutativa porque
a * b = a + b - 1 = b + a - 1 = b * a,
então (\mathbb{Z},*) é um grupo abeliano.

Resposta

1
Sim

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