Seja \mathrm{x}(\mathrm{t}) expresso em termos de sua série exponencial de Fourier:
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{3}{4+(k \pi)^{2}} e^{j \pi k t}
Determine, justificando: (a) O período fundamental \mathrm{T}_{\mathrm{o}} (se existir); (b) O valor médio de \mathrm{x}(\mathrm{t}); (c) Se o sinal é par, ímpar ou nenhum dos dois; (d) Se o sinal x(t) é uma função real ou complexa do tempo; (e) Uma fórmula numérica para o cálculo da potência do sinal \mathrm{x}(\mathrm{t}).
Passo 1
O enunciado nos dá a representação em série exponencial de Fourier:
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{3}{4+(k \pi)^{2}} e^{j \pi k t}.
As perguntas pedidas são:
(a) determinar o período fundamental T_o (se existir);
(b) calcular o valor médio de x(t);
(c) dizer se o sinal é par, ímpar ou nenhum dos dois;
(d) dizer se x(t) é função real ou complexa do tempo;
(e) fornecer uma fórmula numérica para calcular a potência do sinal x(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os coeficientes da série exponencial são C_k=\dfrac{3}{4+(k\pi)^2} para todo inteiro k.
A forma geral da série é x(t)=\sum_{k} C_k e^{j k \omega_0 t} com aqui e^{j\pi k t}, portanto tem uma frequência angular base aparecendo implicitamente.
Passo 2
Identificar a frequência angular fundamental e o período fundamental.
Explicação didática breve: numa série exponencial de Fourier escrita como
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} C_k e^{j k \omega_0 t},
o parâmetro \omega_0 é a frequência angular fundamental. O período fundamental T_o é o menor T>0 que satisfaz \omega_0 T = 2\pi, ou seja
T_o=\frac{2\pi}{\omega_0}.
No nosso caso os termos são e^{j \pi k t}=e^{j k (\pi) t}. Assim podemos identificar \omega_0=\pi. Logo
T_o=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Portanto o sinal é periódico com período fundamental T_o=2.
Passo 3
Calcular o valor médio (média no tempo) de x(t).
Explicação didática: para um sinal periódico com série exponencial, o valor médio (média sobre um período) é exatamente o coeficiente de índice zero C_0, pois
Determinar se o sinal é par, ímpar ou nenhum dos dois, usando os coeficientes.
Explicação didática: para uma série exponencial com coeficientes C_k,
se x(t) for par (isto é, x(-t)=x(t) para todo t), então deve ocorrer C_{-k}=C_k para todo k;
se x(t) for ímpar (isto é, x(-t)=-x(t)), então deve ocorrer C_{-k}=-C_k para todo k.
No enunciado temos
C_k=\frac{3}{4+(k\pi)^2}.
Observe que C_k depende de k^2, então é evidente que C_{-k}=C_k e, além disso, cada C_k é um número real. Assim cumpre-se a condição C_{-k}=C_k. Consequentemente
x(-t)=\sum_{k} C_k e^{j\pi k (-t)}=\sum_{k} C_k e^{-j\pi k t}=\sum_{k} C_{-k} e^{j\pi k t}=\sum_{k} C_k e^{j\pi k t}=x(t).
Portanto x(t) é um sinal par.
Passo 5
Determinar se x(t) é real ou complexa.
Explicação didática: um sinal representado por série exponencial é real se e somente se os coeficientes satisfazem a simetria de conjugado complexa C_{-k}=C_k^{*} para todo k. Aqui os C_k são reais (não têm parte imaginária) e já vimos que C_{-k}=C_k; portanto C_{-k}=C_k^* é verdadeiro. Logo x(t) é real para todo t.
Também se pode ver diretamente: como C_k são reais e C_{-k}=C_k, as somas das exponenciais complexas agrupam-se em senos e cossenos com coeficientes reais resultando numa função real e, por ser ainda igual a x(-t), é uma função real e par.
Passo 6
Dar uma fórmula numérica para a potência do sinal x(t) (potência média no tempo).
Explicação didática: para sinais periódicos com série exponencial de Fourier válida, vale a relação de Parseval (forma discreta) que liga a potência média ao somatório dos quadrados dos módulos dos coeficientes:
Podemos simplificar usando a simetria par dos coeficientes:
P = C_0^2 + 2\sum_{k=1}^{\infty} C_k^2 = \frac{9}{16} + 2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{9}{\bigl(4+(k\pi)^2\bigr)^2}.
Ou, escrevendo o fator 9 fora da soma,
P = 9\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\bigl(4+(k\pi)^2\bigr)^2} = \frac{9}{16} + 18\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\bigl(4+(k\pi)^2\bigr)^2}.
Comentário prático: essa soma numérica converge rapidamente porque os termos decaem como 1/k^4 para k grande; para calcular um valor numérico basta somar alguns termos positivos até atingir a precisão desejada.
Resposta
(a) T_o=2
(b) \overline{x(t)}=\dfrac{3}{4}
(c) x(t) é par
(d) x(t) é real
(e) \displaystyle P=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{9}{\bigl(4+(k\pi)^2\bigr)^2}=\frac{9}{16}+18\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\bigl(4+(k\pi)^2\bigr)^2}