Seja p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} um polinômio não constante, isto é, para todo x \in \mathbb{R},
p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n} \operatorname{com} a_{n} \neq 0 e n \geq 1. Prove que:
Se n for ímpar e a_{n}>0, então, \lim _{x \rightarrow+\infty} p(x)=+\infty e \lim _{x \rightarrow-\infty} p(x)=-\infty.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio não constante p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{n}x^{n},
com a_{n}\neq 0 e n\ge 1. Além disso estamos no caso em que n é ímpar e a_{n}>0.
O que se pede provar é:
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} p(x)=+\infty,
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty} p(x)=-\infty.
Vou agora resolver passo a passo, explicando bem cada argumento.

Passo 2

Ideia central (explicação didática): para x muito grande em módulo, o termo de maior grau a_{n}x^{n} domina os demais termos do polinômio. Matematicamente isso costuma ser expresso mostrando que a razão \dfrac{p(x)}{x^{n}} tende a a_{n} quando |x|\to\infty. Vamos fazer isso de forma detalhada e simples.
Considere a divisão de p(x) por x^{n}. Escrevemos
\frac{p(x)}{x^{n}}=a_{n}+a_{n-1}\frac{1}{x}+a_{n-2}\frac{1}{x^{2}}+\cdots+a_{1}\frac{1}{x^{n-1}}+a_{0}\frac{1}{x^{n}}.

Passo 3

Agora analisamos o limite de cada termo quando |x|\to\infty. Para qualquer inteiro k\ge 1 vale
\lim_{|x|\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0,
porque os denominadores crescem sem limite. Logo, para cada j\le n-1 temos
\lim_{|x|\to\infty} a_{j}\frac{1}{x^{\,n-j}} = a_{j}\cdot 0 =0.
Pelo acima, passando ao limite na expressão do passo anterior,
\lim_{|x|\to\infty}\frac{p(x)}{x^{n}} = a_{n}.
Isto é a versão formal de “o termo a_{n}x^{n} domina os outros”.

Passo 4

Agora transformamos esse fato em uma desigualdade útil para controlar o sinal de p(x) para |x| grande. Tome \varepsilon=\dfrac{a_{n}}{2}>0. Pela convergência \dfrac{p(x)}{x^{n}}\to a_{n} existe R>0 tal que, para todo x com |x|>R,
\left|\frac{p(x)}{x^{n}}-a_{n}\right|<\frac{a_{n}}{2}.
Isto implica, para |x|>R,
\frac{a_{n}}{2} < \frac{p(x)}{x^{n}} < \frac{3a_{n}}{2}.
Multiplicando por x^{n} devemos ter cuidado com o sinal de x^{n}, mas por enquanto recorde que a_{n}/2>0.

Passo 5

Análise para x\rightarrow+\infty:
  • Quando x>R temos x^{n}>0 (pois n é inteiro) e a desigualdade do passo anterior dá
\frac{p(x)}{x^{n}}>\frac{a_{n}}{2}\quad\Longrightarrow\quad p(x)>\frac{a_{n}}{2}x^{n}.
Como x\to+\infty implica x^{n}\to+\infty (porque n\ge1), segue que the lower bound \dfrac{a_{n}}{2}x^{n} tende a +\infty. Pelo encadeamento de desigualdades,
\lim_{x\to+\infty} p(x)=+\infty.
Análise para x\rightarrow-\infty (a parte em que a paridade ímpar importa):
  • Como n é ímpar, se x< -R então x^{n}<0. A desigualdade \dfrac{p(x)}{x^{n}}>\dfrac{a_{n}}{2} ao ser multiplicada por x^{n} (número negativo) inverte o sinal da desigualdade, obtendo
p(x) < \frac{a_{n}}{2}x^{n}\quad\text{para }x<-R.
Mas agora, para x\to -\infty temos x^{n}\to -\infty (pois n é ímpar), e portanto \dfrac{a_{n}}{2}x^{n}\to -\infty. Como p(x) fica sempre abaixo de uma quantidade que vai para -\infty, concluímos
\lim_{x\to -\infty} p(x)=-\infty.

Passo 6

Resumo intuitivo e pequeno exemplo para fixar: a razão \dfrac{p(x)}{x^{n}} tende para a_{n}>0. Então para x grande positivo o polinômio se comporta como um múltiplo positivo de x^{n} (vai para +\infty), e para x grande negativo, como n é ímpar, x^{n} é negativo e o produto dá -\infty. Exemplo concreto: para p(x)=x^{3}+2x-5 tem-se a_{3}=1>0 e realmente p(x)\to+\infty quando x\to+\infty e p(x)\to -\infty quando x\to -\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} p(x)=+\infty\n
\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty} p(x)=-\infty

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