Vou agora resolver passo a passo, explicando bem cada argumento.
Passo 2
Ideia central (explicação didática): para x muito grande em módulo, o termo de maior grau a_{n}x^{n} domina os demais termos do polinômio. Matematicamente isso costuma ser expresso mostrando que a razão \dfrac{p(x)}{x^{n}} tende a a_{n} quando |x|\to\infty. Vamos fazer isso de forma detalhada e simples.
Pelo acima, passando ao limite na expressão do passo anterior,
\lim_{|x|\to\infty}\frac{p(x)}{x^{n}} = a_{n}.
Isto é a versão formal de “o termo a_{n}x^{n} domina os outros”.
Passo 4
Agora transformamos esse fato em uma desigualdade útil para controlar o sinal de p(x) para |x| grande. Tome \varepsilon=\dfrac{a_{n}}{2}>0. Pela convergência \dfrac{p(x)}{x^{n}}\to a_{n} existe R>0 tal que, para todo x com |x|>R,
Como x\to+\infty implica x^{n}\to+\infty (porque n\ge1), segue que the lower bound \dfrac{a_{n}}{2}x^{n} tende a +\infty. Pelo encadeamento de desigualdades,
\lim_{x\to+\infty} p(x)=+\infty.
Análise para x\rightarrow-\infty (a parte em que a paridade ímpar importa):
Como n é ímpar, se x< -R então x^{n}<0. A desigualdade \dfrac{p(x)}{x^{n}}>\dfrac{a_{n}}{2} ao ser multiplicada por x^{n} (número negativo) inverte o sinal da desigualdade, obtendo
p(x) < \frac{a_{n}}{2}x^{n}\quad\text{para }x<-R.
Mas agora, para x\to -\infty temos x^{n}\to -\infty (pois n é ímpar), e portanto \dfrac{a_{n}}{2}x^{n}\to -\infty. Como p(x) fica sempre abaixo de uma quantidade que vai para -\infty, concluímos
\lim_{x\to -\infty} p(x)=-\infty.
Passo 6
Resumo intuitivo e pequeno exemplo para fixar: a razão \dfrac{p(x)}{x^{n}} tende para a_{n}>0. Então para x grande positivo o polinômio se comporta como um múltiplo positivo de x^{n} (vai para +\infty), e para x grande negativo, como n é ímpar, x^{n} é negativo e o produto dá -\infty. Exemplo concreto: para p(x)=x^{3}+2x-5 tem-se a_{3}=1>0 e realmente p(x)\to+\infty quando x\to+\infty e p(x)\to -\infty quando x\to -\infty.