Suponha que
e que
. Assuma que
seja uma função a valores reais. Mostre que as seguintes sentenças são equivalentes:
i.
.
ii. Seja
uma sequência tal que
, para todo
. Se
, então,
.
i.
ii. Seja
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
-
Dados:
-
. -
. Isto significa que é um ponto de acumulação à direita de : para todo existe com . -
é uma função qualquer.
-
-
O que pedir:
- Mostrar que as duas sentenças abaixo são equivalentes:
i.
ii. Para toda sequênciacom para todo e , vale
- Mostrar que as duas sentenças abaixo são equivalentes:
O objetivo é provar tanto
quanto
.
Passo 2
Definição precisa do que significa
(essa é a ferramenta principal que vamos usar).
A frase
quer dizer:
Explicando os quantificadores de forma amigável:
- Dado qualquer número grande
(pense em um limite que queremos ultrapassar), existe um raio à direita de tal que, sempre que esteja no intervalo (ou seja, ), então já é maior que . - Em palavras: aproximando
de pela direita (mas sem ser igual a ), os valores ficam arbitrariamente grandes.
Passo 3
Prova de
.
Tomemos a hipótese
. Queremos mostrar que qualquer sequência
com
e
satisfaz
.
- Comece com um
arbitrário (qualquer número grande). - Pela definição do limite para
(Passo 2), existe tal que, para todo com , vale . - Como
, existe tal que, para todo , . Mas todos os estão à direita de , então , e assim para todo temos . - Pelo comportamento garantido pelo limite, para todo
vale . - Como isso é verdade para qualquer
, concluímos que .
Comentário intuitivo: se à direita de
os valores de
ultrapassam qualquer patamar
quando
está suficientemente perto de
, então qualquer sequência que se aproxime por esse lado finalmente fica com
— ou seja, diverge para
.
Passo 4
Preparação para a direção inversa: entender como negar a definição de limite para
.
A negação da afirmação
é a afirmação
Isto é: se o limite NÃO é
, então existe algum patamar
que não se consegue ultrapassar perto de
— mais precisamente, independentemente de quão pequeno seja o intervalo à direita de
, sempre se encontra um ponto
nesse intervalo com
.
Passo 5
Prova de
por contradição.
Suponha que (ii) seja verdadeira e que, para contradição, (i) seja falsa. Então pela negação (Passo 4) existe
tal que:
Agora vamos construir uma sequência
com
que converge para
, mas tal que
não tende a
, contradizendo (ii).
- Para cada
aplique a afirmação acima com . Assim existe com Observe que aqui usamos explicitamente o quantificador existencial fornecido pela negação: para cada encontramos um tal . - Da desigualdade
segue que e que quando . Portanto . - Porém
para todo , então a sequência está uniformemente limitada por e, portanto, não pode divergir para . - Isso contradiz exatamente a hipótese (ii), que exige que toda sequência
com faça . - Logo a suposição de que (i) é falsa está errada; portanto (i) é verdadeira.
Nota sobre a condição
: ela garante que, para cada
, o conjunto
não é vazio, de modo que as escolhas dos pontos
acima fazem sentido. Sem essa condição não seria possível garantir a existência dos
com
e arbitrariamente perto de
.
Passo 6
Conclusão final e observação pedagógica.
- Mostramos que (i) implica (ii) diretamente usando a definição epsilon-δ para limite divergente e a convergência sequencial.
- Mostramos que (ii) implica (i) por contradição: a negação de (i) permite construir uma sequência
convergente a cujos ficam limitados, contradizendo (ii). - Portanto as duas afirmações são equivalentes: a função diverge para
quando se e somente se todos os valores da função ao longo de sequências com divergem para .