Suponha que X \subseteq \mathbb{R} e que a \in X_{+}^{\prime}. Assuma que f: X \rightarrow \mathbb{R} seja uma função a valores reais. Mostre que as seguintes sentenças são equivalentes:
i. \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty.
ii. Seja \left\{x_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X uma sequência tal que x_{n}>a, para todo n \in \mathbb{N}. Se \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=a, então, \lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(x_{n}\right)=+\infty.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Dados:
    • X\subseteq\mathbb{R}.
    • a\in X_{+}^{\prime}. Isto significa que a é um ponto de acumulação à direita de X: para todo \delta>0 existe x\in X com 0<x-a<\delta.
    • f:X\to\mathbb{R} é uma função qualquer.
  • O que pedir:
    • Mostrar que as duas sentenças abaixo são equivalentes:
      i. \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)=+\infty.
      ii. Para toda sequência \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X com x_n>a para todo n e \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=a, vale \displaystyle \lim_{n\to\infty} f(x_n)=+\infty.
O objetivo é provar tanto (\text{i})\Rightarrow(\text{ii}) quanto (\text{ii})\Rightarrow(\text{i}).

Passo 2

Definição precisa do que significa \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)=+\infty (essa é a ferramenta principal que vamos usar).
A frase \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)=+\infty quer dizer:
\text{para todo }M>0\;\; \exists \delta>0\;\; \text{tal que, para todo }x\in X,\; 0<x-a<\delta \Rightarrow f(x)>M.
Explicando os quantificadores de forma amigável:
  • Dado qualquer número grande M>0 (pense em um limite que queremos ultrapassar), existe um raio \delta>0 à direita de a tal que, sempre que x\in X esteja no intervalo (a,a+\delta) (ou seja, 0<x-a<\delta), então f(x) já é maior que M.
  • Em palavras: aproximando x de a pela direita (mas sem ser igual a a), os valores f(x) ficam arbitrariamente grandes.

Passo 3

Prova de (\text{i})\Rightarrow(\text{ii}).
Tomemos a hipótese \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)=+\infty. Queremos mostrar que qualquer sequência \{x_n\}\subseteq X com x_n>a e x_n\to a satisfaz f(x_n)\to +\infty.
  • Comece com um M>0 arbitrário (qualquer número grande).
  • Pela definição do limite para +\infty (Passo 2), existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<x-a<\delta, vale f(x)>M.
  • Como x_n\to a, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |x_n-a|<\delta. Mas todos os x_n estão à direita de a, então |x_n-a|=x_n-a, e assim para todo n\ge N temos 0<x_n-a<\delta.
  • Pelo comportamento garantido pelo limite, para todo n\ge N vale f(x_n)>M.
  • Como isso é verdade para qualquer M>0, concluímos que \displaystyle \lim_{n\to\infty} f(x_n)=+\infty.
Comentário intuitivo: se à direita de a os valores de f ultrapassam qualquer patamar M quando x está suficientemente perto de a, então qualquer sequência que se aproxime por esse lado finalmente fica com f(x_n)>M — ou seja, diverge para +\infty.

Passo 4

Preparação para a direção inversa: entender como negar a definição de limite para +\infty.
A negação da afirmação
\text{para todo }M>0\;\; \exists \delta>0\; \text{tal que }(\forall x\in X,\;0<x-a<\delta\Rightarrow f(x)>M)
é a afirmação
\exists M_0>0\;\; \forall \delta>0\;\; \exists x\in X\;\; \text{com }0<x-a<\delta\text{ e }f(x)\le M_0.
Isto é: se o limite NÃO é +\infty, então existe algum patamar M_0 que não se consegue ultrapassar perto de a — mais precisamente, independentemente de quão pequeno seja o intervalo à direita de a, sempre se encontra um ponto x nesse intervalo com f(x)\le M_0.

Passo 5

Prova de (\text{ii})\Rightarrow(\text{i}) por contradição.
Suponha que (ii) seja verdadeira e que, para contradição, (i) seja falsa. Então pela negação (Passo 4) existe M_0>0 tal que:
\forall \delta>0\;\; \exists x\in X \text{ com } 0<x-a<\delta \text{ e } f(x)\le M_0.
Agora vamos construir uma sequência \{x_n\}\subseteq X com x_n>a que converge para a, mas tal que f(x_n) não tende a +\infty, contradizendo (ii).
  • Para cada n\in\mathbb{N} aplique a afirmação acima com \delta=\tfrac{1}{n}. Assim existe x_n\in X com 0<x_n-a<\tfrac{1}{n}\qquad\text{e}\qquad f(x_n)\le M_0.Observe que aqui usamos explicitamente o quantificador existencial fornecido pela negação: para cada \delta>0 encontramos um tal x.
  • Da desigualdade 0<x_n-a<\tfrac{1}{n} segue que x_n>a e que x_n-a\to0 quando n\to\infty. Portanto x_n\to a.
  • Porém f(x_n)\le M_0 para todo n, então a sequência \{f(x_n)\} está uniformemente limitada por M_0 e, portanto, não pode divergir para +\infty.
  • Isso contradiz exatamente a hipótese (ii), que exige que toda sequência x_n>a com x_n\to a faça f(x_n)\to+\infty.
  • Logo a suposição de que (i) é falsa está errada; portanto (i) é verdadeira.
Nota sobre a condição a\in X_{+}^{\prime}: ela garante que, para cada \delta>0, o conjunto (a,a+\delta)\cap X não é vazio, de modo que as escolhas dos pontos x_n acima fazem sentido. Sem essa condição não seria possível garantir a existência dos x_n com x_n>a e arbitrariamente perto de a.

Passo 6

Conclusão final e observação pedagógica.
  • Mostramos que (i) implica (ii) diretamente usando a definição epsilon-δ para limite divergente e a convergência sequencial.
  • Mostramos que (ii) implica (i) por contradição: a negação de (i) permite construir uma sequência x_n>a convergente a a cujos f(x_n) ficam limitados, contradizendo (ii).
  • Portanto as duas afirmações são equivalentes: a função diverge para +\infty quando x\to a^{+} se e somente se todos os valores da função ao longo de sequências x_n>a com x_n\to a divergem para +\infty.

Resposta

\text{(i)}\Leftrightarrow\text{(ii)}

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