Seja P um ponto a uma distância d do centro de um círculo de raio r. A curva traçada em P como um círculo desliza ao longo de uma linha reta chamada trocoide. (Pense no movimento de um ponto sobre um raio de uma roda de bicicleta.) A cicloide é o caso especial de uma trocoide com d=r. Usando o mesmo parâmetro \theta que para a cicloide e supondo que a reta seja o eixo x e \theta=0 quando P está em um de seus pontos mais baixos, mostre que as equações paramétricas para a trocoide são
x=r \theta-d \operatorname{sen} \theta \quad y=r-d \cos \theta
Esboce a trocoide para os casos d<r e d>r.

Passo 1

O enunciado trata de um ponto P fixo num raio de uma roda de raio r, a uma distância d do centro, que rola sem deslizar sobre o eixo x. Queremos usar o mesmo parâmetro \theta da cicloide (ângulo de rotação, com \theta=0 quando P está no ponto mais baixo) para deduzir as equações paramétricas da trocoide.

Passo 2

O centro da roda descreve uma cicloide: como não há deslizamento, o deslocamento horizontal é igual ao arco percorrido no círculo. Logo, a posição do centro é
x_{\mathrm{c}} = r\,\theta,
y_{\mathrm{c}} = r.

Passo 3

Em coordenadas centradas na roda, o ponto P faz um movimento circular de raio d. Ao girar de ângulo \theta, o vetor do centro a P tem componentes
\Delta x = -\,d\sin(\theta),
\Delta y = -\,d\cos(\theta),
pois em \theta=0 esse vetor aponta verticalmente para baixo.

Passo 4

Somando a posição do centro e o vetor relativo, obtemos as equações paramétricas da trocoide:
x = r\,\theta - d\sin(\theta),
y = r - d\cos(\theta).

Passo 5

Esboço qualitativo da curva:
  • Se d<r, mínimo de y é r-d>0, a curva não atinge o eixo x (trocoide curtada), sem laços.
  • Se d>r, r-d<0, o ponto passa para baixo do eixo x formando laços (trocoide protada).

Resposta

As equações paramétricas são
x = r\,\theta - d\sin(\theta)
y = r - d\cos(\theta)
e, no esboço, para d<r a trocoide é curtada (sem laços) e para d>r é protada (com laços).

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