Seja
um ponto a uma distância
do centro de um círculo de raio
. A curva traçada em
como um círculo desliza ao longo de uma linha reta chamada trocoide. (Pense no movimento de um ponto sobre um raio de uma roda de bicicleta.) A cicloide é o caso especial de uma trocoide com
. Usando o mesmo parâmetro
que para a cicloide e supondo que a reta seja o eixo
e
quando
está em um de seus pontos mais baixos, mostre que as equações paramétricas para a trocoide são
Esboce a trocoide para os casos
e
.
Passo 1
O enunciado trata de um ponto
fixo num raio de uma roda de raio
, a uma distância
do centro, que rola sem deslizar sobre o eixo
. Queremos usar o mesmo parâmetro
da cicloide (ângulo de rotação, com
quando
está no ponto mais baixo) para deduzir as equações paramétricas da trocoide.
Passo 2
O centro da roda descreve uma cicloide: como não há deslizamento, o deslocamento horizontal é igual ao arco percorrido no círculo. Logo, a posição do centro é
Passo 3
Em coordenadas centradas na roda, o ponto
faz um movimento circular de raio
. Ao girar de ângulo
, o vetor do centro a
tem componentes
pois em
esse vetor aponta verticalmente para baixo.
Passo 4
Somando a posição do centro e o vetor relativo, obtemos as equações paramétricas da trocoide:
Passo 5
Esboço qualitativo da curva:
- Se
, mínimo de é , a curva não atinge o eixo (trocoide curtada), sem laços. - Se
, , o ponto passa para baixo do eixo formando laços (trocoide protada).
Resposta
As equações paramétricas são
e, no esboço, para
a trocoide é curtada (sem laços) e para
é protada (com laços).