Seja o polinômio p(x)=x^{6}-26 x^{4}-32 x^{3}-147 x^{2}-96 x-180. A respeito das raízes da equação \mathrm{p}(\mathrm{x})=0, podemos afirmar que
a) todas as raízes são reais.
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
e) nenhuma raiz é real.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{6}-26x^{4}-32x^{3}-147x^{2}-96x-180
e pede qual alternativa entre (a)–(e) descreve corretamente quantas raízes reais a equação p(x)=0 tem.
Informações relevantes que temos:
  • p(x) é um polinômio de grau 6 com coeficientes reais, portanto o número de raízes complexas não reais é par (raízes complexas aparecem em pares conjugadas).
  • Precisamos determinar quantas raízes reais existem (e se elas são distintas ou iguais) para escolher a alternativa correta.

Passo 2

Estratégia prática (e muito usada em provas): procurar raízes racionais inteiras usando o Teorema das Raízes Racionais (cada candidato é divisor de -180 porque o coeficiente líder é 1). Vou testar valores inteiros pequenos até achar algum zero de p.
Calculei p(6):
\begin{aligned} p(6)&=6^{6}-26\cdot6^{4}-32\cdot6^{3}-147\cdot6^{2}-96\cdot6-180\\\ &=46656-26\cdot1296-32\cdot216-147\cdot36-576-180\\\ &=46656-33696-6912-5292-576-180\\\ &=0. \end{aligned}
Como p(6)=0, concluímos que x=6 é uma raiz e, portanto, (x-6) é um fator de p(x).

Passo 3

Divido p(x) por (x-6) usando divisão sintética para obter o quociente de grau 5. Coeficientes de p: 1,0,-26,-32,-147,-96,-180.
Aplicando a divisão sintética com 6 resulta nos coeficientes do quociente:
1,\;6,\;10,\;28,\;21,\;30,
ou seja o quociente é
q_5(x)=x^{5}+6x^{4}+10x^{3}+28x^{2}+21x+30.
Portanto
p(x)=(x-6)\,q_5(x).

Passo 4

Agora procuro raízes racionais de q_5(x). Novamente candidatos são divisores de 30. Testei x=-5:
\begin{aligned} q_5(-5)&=(-5)^{5}+6(-5)^{4}+10(-5)^{3}+28(-5)^{2}+21(-5)+30\\\ &=-3125+3750-1250+700-105+30\\\ &=0. \end{aligned}
Assim x=-5 é raiz de q_5, logo (x+5) é fator. Faço divisão sintética de q_5 por (x+5) (usar raiz -5) e obtenho o quociente de grau 4 com coeficientes
1,\;1,\;5,\;3,\;6,
ou seja
r_4(x)=x^{4}+x^{3}+5x^{2}+3x+6.
Portanto
q_5(x)=(x+5)\,r_4(x),
e assim
p(x)=(x-6)(x+5)r_4(x).

Passo 5

Tento fatorar r_4(x)=x^{4}+x^{3}+5x^{2}+3x+6 em quadráticos. Proponho um produto (x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d). Testando (ou inspecionando fatores de 6) encontra-se que
r_4(x)=(x^{2}+3)(x^{2}+x+2).
Faço a verificação rápida expandindo:
(x^{2}+3)(x^{2}+x+2)=x^{4}+x^{3}+5x^{2}+3x+6,
que coincide com r_4(x). Portanto a fatoração completa de p é
p(x)=(x-6)(x+5)(x^{2}+3)(x^{2}+x+2).

Passo 6

Agora listamos as raízes a partir de cada fator:
  • Do fator linear (x-6) vem a raiz real \,x=6.
  • Do fator linear (x+5) vem a raiz real \,x=-5.
  • Do fator quadrático (x^{2}+3) vem as raízes \,x=\pm i\sqrt{3}, que são complexas não reais.
  • Do fator quadrático (x^{2}+x+2) verificamos o discriminante para saber se tem raízes reais:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot1\cdot2 = 1-8 = -7 <0.
Como \Delta<0, as duas raízes de x^{2}+x+2 também são complexas não reais (conjugadas entre si).
Assim, entre as seis raízes (contando multiplicidade) temos exatamente duas raízes reais e distintas: x=6 e x=-5. As outras quatro são complexas não reais (duas de cada quadrático).

Passo 7

Conclusão final: a alternativa correta é a que afirma que somente duas raízes são reais e são distintas.

Resposta

b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.

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