Seja o polinômio
. A respeito das raízes da equação
, podemos afirmar que
a) todas as raízes são reais.
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
e) nenhuma raiz é real.
a) todas as raízes são reais.
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
e) nenhuma raiz é real.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede qual alternativa entre (a)–(e) descreve corretamente quantas raízes reais a equação
tem.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é um polinômio de grau com coeficientes reais, portanto o número de raízes complexas não reais é par (raízes complexas aparecem em pares conjugadas). - Precisamos determinar quantas raízes reais existem (e se elas são distintas ou iguais) para escolher a alternativa correta.
Passo 2
Estratégia prática (e muito usada em provas): procurar raízes racionais inteiras usando o Teorema das Raízes Racionais (cada candidato é divisor de
porque o coeficiente líder é
). Vou testar valores inteiros pequenos até achar algum zero de
.
Calculei
:
Como
, concluímos que
é uma raiz e, portanto,
é um fator de
.
Passo 3
Divido
por
usando divisão sintética para obter o quociente de grau
. Coeficientes de
:
.
Aplicando a divisão sintética com
resulta nos coeficientes do quociente:
ou seja o quociente é
Portanto
Passo 4
Agora procuro raízes racionais de
. Novamente candidatos são divisores de
. Testei
:
Assim
é raiz de
, logo
é fator. Faço divisão sintética de
por
(usar raiz
) e obtenho o quociente de grau
com coeficientes
ou seja
Portanto
e assim
Passo 5
Tento fatorar
em quadráticos. Proponho um produto
. Testando (ou inspecionando fatores de
) encontra-se que
Faço a verificação rápida expandindo:
que coincide com
. Portanto a fatoração completa de
é
Passo 6
Agora listamos as raízes a partir de cada fator:
- Do fator linear
vem a raiz real . - Do fator linear
vem a raiz real . - Do fator quadrático
vem as raízes , que são complexas não reais. - Do fator quadrático
verificamos o discriminante para saber se tem raízes reais:
Como
, as duas raízes de
também são complexas não reais (conjugadas entre si).
Assim, entre as seis raízes (contando multiplicidade) temos exatamente duas raízes reais e distintas:
e
. As outras quatro são complexas não reais (duas de cada quadrático).
Passo 7
Conclusão final: a alternativa correta é a que afirma que somente duas raízes são reais e são distintas.
Resposta
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.