(a) (20 pontos) Determine, se existir, a sua inversa A^{-1}.
(b) (10 pontos) Determine o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo-se que B=\binom{-5}{0}.
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada A abaixo e pede duas coisas separadas:
As perguntas são:
(a) Determinar, se existir, a inversa A^{-1}.
(b) Determinar o conjunto solução do sistema linear A X=B, sendo que o enunciado fornece B=\binom{-5}{0}.
Informações relevantes:
A é uma matriz 3\times3.
O vetor B fornecido no enunciado, escrito como \binom{-5}{0}, tem dimensão 2\times1 (dois componentes).
Para que o sistema A X=B tenha sentido (dimensionalmente), B deveria ser um vetor coluna de dimensão 3\times1. Aqui há uma incompatibilidade aparente entre as dimensões dadas.]
Passo 2
Vamos resolver (a) encontrando a inversa de A pelo método de Gauss–Jordan (eliminar para obter a identidade à esquerda e a inversa à direita). Primeiro explico rapidamente a ideia do método:
Método Gauss–Jordan para inversa: formar a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr], onde I é a identidade 3\times3. Aplicam‑se operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até que o bloco esquerdo vire I. O bloco direito resultante será A^{-1}, desde que A seja invertível (ou seja, sempre que não apareça uma linha nula no bloco esquerdo indicando determinante zero).
Verificação rápida (boa prática antes da prova): multiplicar A por A^{-1} deve dar I. Um cálculo rápido das colunas mostra que A\cdot A^{-1}=I_3 (por exemplo, primeira coluna de A^{-1} é (1,0,-1)^T e A(1,0,-1)^T=(1,0,0)^T, etc.). Isso confirma que a inversa encontrada está correta.
Passo 7
Agora abordamos (b). Primeiro, notar novamente a questão dimensional: o enunciado dá B=\binom{-5}{0}, que é um vetor coluna com duas entradas. Mas A é 3\times3. O produto A X só faz sentido se X for 3\times1 e B também for 3\times1. Assim, com o B fornecido (dimensão 2), o sistema A X=B está mal formulado — não tem como determinar o conjunto solução porque falta uma componente de B. Não se pode inventar a terceira componente sem instrução do enunciado.
Passo 8
Para ser útil na prova, explico o que faria assim que o vetor B correto (dimensão 3) fosse conhecido: se A é invertível (como vimos), o sistema A X=B tem solução única, dada por
X = A^{-1}B.
Se escrevêssemos B=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt] b_2\\[4pt] b_3\end{pmatrix} (componentes genéricas), então usando a inversa encontrada temos
Assim, se o enunciado pretendia B com três componentes, basta substituir b_1,b_2,b_3 pelos valores indicados e obter a solução única acima.
Observação prática: se o autor do exercício quisesse B=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} (por exemplo), a solução seria substituindo b_1=-5,b_2=0,b_3=0 na fórmula acima, dando X=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix}. Mas reforço: isso é só um exemplo — não se deve assumir sem confirmação do enunciado.]
(b) Não é possível determinar o conjunto solução porque o vetor B fornecido, \displaystyle \binom{-5}{0}, tem dimensão 2\times1 enquanto A é 3\times3; falta a terceira componente de B. Se B=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\\[4pt]b_3\end{pmatrix} fosse dado, a solução única seria \displaystyle X=\begin{pmatrix}b_1-b_2\\[4pt]b_2-b_3\\[4pt]-b_1+b_2+b_3\end{pmatrix}.]