Questão 3: Seja A a matriz:
A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) .
(a) (20 pontos) Determine, se existir, a sua inversa A^{-1}.
(b) (10 pontos) Determine o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo-se que B=\binom{-5}{0}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A abaixo e pede duas coisas separadas:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Determinar, se existir, a inversa A^{-1}.
(b) Determinar o conjunto solução do sistema linear A X=B, sendo que o enunciado fornece B=\binom{-5}{0}.
Informações relevantes:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • O vetor B fornecido no enunciado, escrito como \binom{-5}{0}, tem dimensão 2\times1 (dois componentes).
  • Para que o sistema A X=B tenha sentido (dimensionalmente), B deveria ser um vetor coluna de dimensão 3\times1. Aqui há uma incompatibilidade aparente entre as dimensões dadas.]

Passo 2

Vamos resolver (a) encontrando a inversa de A pelo método de Gauss–Jordan (eliminar para obter a identidade à esquerda e a inversa à direita). Primeiro explico rapidamente a ideia do método:
  • Método Gauss–Jordan para inversa: formar a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr], onde I é a identidade 3\times3. Aplicam‑se operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até que o bloco esquerdo vire I. O bloco direito resultante será A^{-1}, desde que A seja invertível (ou seja, sempre que não apareça uma linha nula no bloco esquerdo indicando determinante zero).
Agora construímos a matriz aumentada inicial:
\bigl[A\mid I\bigr]= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 &\mid& 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Começamos as operações para triangularizar e depois diagonalizar a parte esquerda.
  1. Como é mais simples ter 1 como pivô na primeira coluna, trocamos a linha 1 com a linha 2:
R_1 \leftrightarrow R_2: \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 &\mid& 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar as entradas abaixo do pivô da coluna 1:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos cada linha:
  • R_2 = (2,1,1)-(2\cdot1,2\cdot1,2\cdot1) = (0,-1,-1) e para a parte direita (1,0,0)-2(0,1,0)=(1,-2,0).
  • R_3 = (1,0,1)-(1,1,1)=(0,-1,0) e para a parte direita (0,0,1)-(0,1,0)=(0,-1,1).
Assim obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 &\mid& 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 &\mid& 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuamos com a segunda coluna:
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 multiplicando R_2 por -1:
R_2 \leftarrow -R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 &\mid& -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 &\mid& 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar as outras entradas na segunda coluna:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Calculemos:
  • R_1 = (1,1,1)-(0,1,1)=(1,0,0) e direita (0,1,0)-(-1,2,0)=(1,-1,0).
  • R_3 = (0,-1,0)+(0,1,1)=(0,0,1) e direita (0,-1,1)+(-1,2,0)=(-1,1,1).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 &\mid& -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 &\mid& -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Fazemos a eliminação final na terceira coluna:
  1. Já temos pivô igual a 1 na linha 3, coluna 3. Eliminamos acima:
R_2 \leftarrow R_2 - R_3,\qquad R_1 \leftarrow R_1 - 0\cdot R_3 \\ (\text{já tem }0).á
Calculemos R_2:
  • Parte esquerda: (0,1,1)-(0,0,1)=(0,1,0).
  • Parte direita: (-1,2,0)-(-1,1,1)=(0,1,-1).
A matriz final (com bloco esquerdo sendo a identidade) é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 &\mid& 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 &\mid& -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto o bloco direito é A^{-1}:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (boa prática antes da prova): multiplicar A por A^{-1} deve dar I. Um cálculo rápido das colunas mostra que A\cdot A^{-1}=I_3 (por exemplo, primeira coluna de A^{-1} é (1,0,-1)^T e A(1,0,-1)^T=(1,0,0)^T, etc.). Isso confirma que a inversa encontrada está correta.

Passo 7

Agora abordamos (b). Primeiro, notar novamente a questão dimensional: o enunciado dá B=\binom{-5}{0}, que é um vetor coluna com duas entradas. Mas A é 3\times3. O produto A X só faz sentido se X for 3\times1 e B também for 3\times1. Assim, com o B fornecido (dimensão 2), o sistema A X=B está mal formulado — não tem como determinar o conjunto solução porque falta uma componente de B. Não se pode inventar a terceira componente sem instrução do enunciado.

Passo 8

Para ser útil na prova, explico o que faria assim que o vetor B correto (dimensão 3) fosse conhecido: se A é invertível (como vimos), o sistema A X=B tem solução única, dada por
X = A^{-1}B.
Se escrevêssemos B=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt] b_2\\[4pt] b_3\end{pmatrix} (componentes genéricas), então usando a inversa encontrada temos
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1\\[4pt] b_2\\[4pt] b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - b_2\\[4pt] b_2 - b_3\\[4pt] -\,b_1 + b_2 + b_3 \end{pmatrix}.
Assim, se o enunciado pretendia B com três componentes, basta substituir b_1,b_2,b_3 pelos valores indicados e obter a solução única acima.
Observação prática: se o autor do exercício quisesse B=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} (por exemplo), a solução seria substituindo b_1=-5,b_2=0,b_3=0 na fórmula acima, dando X=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]5\end{pmatrix}. Mas reforço: isso é só um exemplo — não se deve assumir sem confirmação do enunciado.]

Resposta

(a) \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
(b) Não é possível determinar o conjunto solução porque o vetor B fornecido, \displaystyle \binom{-5}{0}, tem dimensão 2\times1 enquanto A é 3\times3; falta a terceira componente de B. Se B=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\\[4pt]b_3\end{pmatrix} fosse dado, a solução única seria \displaystyle X=\begin{pmatrix}b_1-b_2\\[4pt]b_2-b_3\\[4pt]-b_1+b_2+b_3\end{pmatrix}.]

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