Seja p(x) um polinômio tal que p(3)=98 e p^{\prime}(3)=15. Estime o valor de p(3.03).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • p(x) é um polinômio qualquer.
  • p(3)=98.
  • p'(3)=15.
O que o problema pede:
  • Estimar o valor de p(3,03).

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada passo a passo):
  • A derivada p'(a) em um ponto a é a inclinação da reta tangente ao gráfico de p naquele ponto; ela nos diz quanto p varia por unidade de x perto de a.
  • A aproximação linear (ou aproximação por diferencial / reta tangente) diz que, para x perto de a,
p(x)\approx p(a)+p'(a)\,(x-a).
Aqui:
  • a é o ponto onde conhecemos p(a) e p'(a).
  • x-a é o pequeno deslocamento em x.
  • p'(a)\,(x-a) é a variação aproximada de p quando x se afasta de a.
    Essa fórmula é simplesmente a equação da reta tangente em x=a: valor em a mais inclinação vezes deslocamento.

Passo 3

Aplicando a aproximação com a=3 e x=3,03:
  • O deslocamento é
x-a = 3,03-3 = 0,03.
  • A variação aproximada de p é
\Delta p \approx p'(3)\,(x-a) = 15\cdot 0,03.
Agora computamos essa multiplicação de forma simples sem calculadora:
15\cdot 0,03 = 15\cdot\frac{3}{100} = \frac{45}{100}=0,45.

Passo 4

Portanto a estimativa pelo método linear é
p(3,03)\approx p(3)+\Delta p = 98 + 0,45 = 98,45.

Passo 5

Observação sobre erro e confiança na estimativa:
  • Como 0,03 é pequeno, a aproximação linear costuma ser muito boa; o erro restante é da ordem de (x-a)^2 vezes \tfrac{p''(\xi)}{2} para algum \xi entre 3 e 3,03. Não conhecendo p'' não dá para quantificar exatamente o erro, mas geralmente será muito pequeno quando |x-a| é tão pequeno.
  • Exemplinho rápido para consolidar: para q(x)=x^2 em a=1, temos q(1)=1 e q'(1)=2. Aproximando q(1,1) por 1+2\cdot0,1=1,2. O valor exato é 1,21, ou seja, a aproximação está bem próxima (erro 0,01), mostrando como funciona na prática.

Resposta

98,45

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