Seja
um polinômio tal que
e
. Estime o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um polinômio qualquer. -
. -
.
O que o problema pede:
- Estimar o valor de
.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada passo a passo):
- A derivada
em um ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico de naquele ponto; ela nos diz quanto varia por unidade de perto de . - A aproximação linear (ou aproximação por diferencial / reta tangente) diz que, para
perto de ,
Aqui:
-
é o ponto onde conhecemos e . -
é o pequeno deslocamento em . -
é a variação aproximada de quando se afasta de .
Essa fórmula é simplesmente a equação da reta tangente em: valor em mais inclinação vezes deslocamento.
Passo 3
Aplicando a aproximação com
e
:
- O deslocamento é
- A variação aproximada de
é
Agora computamos essa multiplicação de forma simples sem calculadora:
Passo 4
Portanto a estimativa pelo método linear é
Passo 5
Observação sobre erro e confiança na estimativa:
- Como
é pequeno, a aproximação linear costuma ser muito boa; o erro restante é da ordem de vezes para algum entre e . Não conhecendo não dá para quantificar exatamente o erro, mas geralmente será muito pequeno quando é tão pequeno. - Exemplinho rápido para consolidar: para
em , temos e . Aproximando por . O valor exato é , ou seja, a aproximação está bem próxima (erro ), mostrando como funciona na prática.