Redefina o cosseno de um ângulo como:
\cos (x)=\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para redefinir o cosseno de um ângulo como
\cos(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right).
Informações dadas:
  • Queremos demonstrar/justificar a igualdade acima.
  • A variável x representa um ângulo (assumiremos em radianos, como é padrão em análise).

Passo 2

Vamos usar a fórmula de adição para o seno, que diz o seguinte (aqui a e b são ângulos quaisquer):
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}(a)\cos(b)+\cos(a)\operatorname{sen}(b).
Explicando essa fórmula de forma simples: quando se soma dois ângulos a geometria (ou a rotação no plano) mostra que a componente vertical (o seno) do ângulo somado é a soma das componentes verticais/ horizontais apropriadas dos ângulos separados. Uma maneira direta e elegante de obter essa fórmula é pensar em matrizes de rotação:
R(t)=\begin{pmatrix}\cos(t) & -\operatorname{sen}(t)\\[4pt]\operatorname{sen}(t) & \cos(t)\end{pmatrix},
que representa a rotação do plano por um ângulo t. A composição de duas rotações soma os ângulos:
R(a)R(b)=R(a+b).
Multiplicando as matrizes à esquerda e comparando a entrada (2,1) (linha 2, coluna 1) obtemos exatamente
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}(a)\cos(b)+\cos(a)\operatorname{sen}(b).
(Isto mostra de forma clara de onde vem a fórmula sem recorrer a cálculo avançado.)]

Passo 3

Agora apliquei a fórmula com a=x e b=\dfrac{\pi}{2}:
\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(x)\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos(x)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Preciso conhecer os valores de \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right). Pelas definições usuais na circunferência unitária:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 4

Substituindo esses valores na igualdade do Passo 3:
\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(x)\cdot 0 + \cos(x)\cdot 1 = \cos(x).
Portanto chegamos à identidade desejada:
\cos(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Checagens rápidas e propriedades úteis (para ganhar confiança):
  • Exemplo numérico: x=0:
\cos(0)=1,\qquad \operatorname{sen}\!\left(0+\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
  • Derivada (consistência com cálculo): se \cos(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right) então, usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right).
E como \cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}(x) (usando a fórmula de adição novamente), obtemos \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x), que é a derivada conhecida do cosseno — tudo coerente.

Passo 6

Outras formas equivalentes que valem a pena memorizar:
\cos(x)=-\operatorname{sen}\!\left(x-\frac{\pi}{2}\right), \qquad \operatorname{sen}(x)=\cos\!\left(x-\frac{\pi}{2}\right).
São apenas deslocamentos de argumento da mesma ideia (seno e cosseno são a mesma curva, deslocadas por \tfrac{\pi}{2}).

Resposta

\cos(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)

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