Redefina o cosseno de um ângulo como:
Passo 1
O enunciado pede para redefinir o cosseno de um ângulo como
Informações dadas:
- Queremos demonstrar/justificar a igualdade acima.
- A variável
representa um ângulo (assumiremos em radianos, como é padrão em análise).
Passo 2
Vamos usar a fórmula de adição para o seno, que diz o seguinte (aqui
e
são ângulos quaisquer):
Explicando essa fórmula de forma simples: quando se soma dois ângulos a geometria (ou a rotação no plano) mostra que a componente vertical (o seno) do ângulo somado é a soma das componentes verticais/ horizontais apropriadas dos ângulos separados. Uma maneira direta e elegante de obter essa fórmula é pensar em matrizes de rotação:
que representa a rotação do plano por um ângulo
. A composição de duas rotações soma os ângulos:
Multiplicando as matrizes à esquerda e comparando a entrada
(linha 2, coluna 1) obtemos exatamente
(Isto mostra de forma clara de onde vem a fórmula sem recorrer a cálculo avançado.)]
Passo 3
Agora apliquei a fórmula com
e
:
Preciso conhecer os valores de
e
. Pelas definições usuais na circunferência unitária:
Passo 4
Substituindo esses valores na igualdade do Passo 3:
Portanto chegamos à identidade desejada:
Passo 5
Checagens rápidas e propriedades úteis (para ganhar confiança):
- Exemplo numérico:
:
- Derivada (consistência com cálculo): se
então, usando a regra da cadeia,
E como
(usando a fórmula de adição novamente), obtemos
, que é a derivada conhecida do cosseno — tudo coerente.
Passo 6
Outras formas equivalentes que valem a pena memorizar:
São apenas deslocamentos de argumento da mesma ideia (seno e cosseno são a mesma curva, deslocadas por
).