Seja preceq uma relação de ordem parcial sobre um conjunto finito V. Portanto, a relação é transitiva (se x preceq y e y preceq z então x preceq z), antissimétrica (se x preceq y e y preceq x então x=y) e reflexiva ( x preceq x para todo x). Digamos que dois elementos distintos x e y de V são adjacentes se forem comparáveis, ou seja, se x preceq y ou y preceq x. Essa relação de adjacência define o grafo de comparabilidade da relação preceq. Faça uma figura do grafo de comparabilidade da relação usual de inclusão subseteq entre a coleção de todos os subconjuntos de 1,2,3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma relação de ordem parcial baseada na inclusão de conjuntos, chamada , e queremos construir o grafo de comparabilidade dessa relação para todos os subconjuntos do conjunto . Para isso, vamos precisar listar todos os subconjuntos, entender como eles se relacionam através da inclusão e então representar isso em um grafo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os subconjuntos possíveis de . Sendo o conjunto finito com 3 elementos, o número total de subconjuntos é . Aqui estão eles:
  1. (conjunto vazio)

Passo 3

Agora, vamos entender a relação de inclusão entre esses subconjuntos. Dois subconjuntos são comparáveis se um está contido no outro. Por exemplo, é uma relação válida.

Passo 4

Com essa informação, vamos construir o grafo de comparabilidade. Nele, cada subconjunto será representado por um vértice, e haverá uma aresta entre dois vértices se os subconjuntos correspondentes forem comparáveis pela inclusão. Vamos conectar todos os pares de subconjuntos que têm essa relação.

Passo 5

Vamos desenhar o grafo com base nos subconjuntos listados:
  • está conectado a todos os outros subconjuntos, porque está contido em todos.
  • Cada conjunto de um elemento ( , , ) está conectado ao conjunto completo .
  • Os conjuntos de dois elementos ( , , ) estão conectados ao conjunto completo e ao subconjunto vazio.
Isso resulta em um grafo onde é o vértice central conectado a todos, e os demais vértices estão conectados entre si conforme a relação de inclusão.

Resposta

O grafo de comparabilidade da relação de inclusão entre todos os subconjuntos de é construído conectando cada subconjunto ao conjunto vazio e ao conjunto completo, além das conexões entre subconjertos que possuem relação direta de inclusão.

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