Seja
uma relação de ordem parcial sobre um conjunto finito
. Portanto, a relação é transitiva (se
e
então
), antissimétrica (se
e
então
) e reflexiva (
para todo
). Digamos que dois elementos distintos
e
de
são adjacentes se forem comparáveis, ou seja, se
ou
. Essa relação de adjacência define o grafo de comparabilidade da relação
. Faça uma figura do grafo de comparabilidade da relação usual de inclusão
entre a coleção de todos os subconjuntos de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma relação de ordem parcial baseada na inclusão de conjuntos, chamada
, e queremos construir o grafo de comparabilidade dessa relação para todos os subconjuntos do conjunto
. Para isso, vamos precisar listar todos os subconjuntos, entender como eles se relacionam através da inclusão e então representar isso em um grafo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os subconjuntos possíveis de
. Sendo o conjunto finito com 3 elementos, o número total de subconjuntos é
. Aqui estão eles:
-
(conjunto vazio) -
-
-
-
-
-
-
Passo 3
Agora, vamos entender a relação de inclusão
entre esses subconjuntos. Dois subconjuntos são comparáveis se um está contido no outro. Por exemplo,
é uma relação válida.
Passo 4
Com essa informação, vamos construir o grafo de comparabilidade. Nele, cada subconjunto será representado por um vértice, e haverá uma aresta entre dois vértices se os subconjuntos correspondentes forem comparáveis pela inclusão. Vamos conectar todos os pares de subconjuntos que têm essa relação.
Passo 5
Vamos desenhar o grafo com base nos subconjuntos listados:
-
está conectado a todos os outros subconjuntos, porque está contido em todos. - Cada conjunto de um elemento (
, , ) está conectado ao conjunto completo . - Os conjuntos de dois elementos (
, , ) estão conectados ao conjunto completo e ao subconjunto vazio.
Isso resulta em um grafo onde
é o vértice central conectado a todos, e os demais vértices estão conectados entre si conforme a relação de inclusão.
Resposta
O grafo de comparabilidade da relação de inclusão
entre todos os subconjuntos de
é construído conectando cada subconjunto ao conjunto vazio e ao conjunto completo, além das conexões entre subconjertos que possuem relação direta de inclusão.