Seja X(t) um processo estocástico Gaussiano com
\mu_{X}(t)=t, e R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=1+2 t_{1} t_{2}, para todos t, t_{1}, t_{2} \in R.
Encontre P[2 X(1)+X(2)<3].

Passo 1

O enunciado dá um processo Gaussiano X(t) com média e função de covariância (ou função de segunda ordem) conhecidas:
  • \mu_{X}(t)=t para todo t.
  • R_{X}\bigl(t_{1},t_{2}\bigr)=1+2\,t_{1}t_{2} para todo t_{1},t_{2}.
A pergunta é calcular a probabilidade
P\bigl[2X(1)+X(2)<3\bigr].
Vou listar explicitamente as informações úteis que já temos:
  • \mu_{X}(1)=1.
  • \mu_{X}(2)=2.
  • R_{X}(1,1)=1+2\cdot1\cdot1=3.
  • R_{X}(2,2)=1+2\cdot2\cdot2=9.
  • R_{X}(1,2)=1+2\cdot1\cdot2=5.

Passo 2

Ideia do método (sem matemática pesada ainda): como X(t) é um processo Gaussiano, o vetor \bigl(X(1),X(2)\bigr) é uma v.d.a. Gaussian (distribuição normal multivariada). Uma combinação linear de componentes de um vetor Gaussiano é novamente uma variável normal (Gaussiana) unidimensional. Portanto a variável escalar
Y = 2X(1)+X(2)
é normalmente distribuída. Para obter P[Y<3] precisamos só da média \mu_Y e da variância \sigma_Y^{2} de Y. Em seguida usamos a CDF da normal padrão para transformar em probabilidade.
Agora vamos aplicar as fórmulas concretas.

Passo 3

Calculando a média de Y.
Regra (explicação didática): a média de uma combinação linear é a combinação linear das médias. Se Y=aX(1)+bX(2), então \mu_Y=a\mu_{X}(1)+b\mu_{X}(2). Aqui a=2 e b=1.
Portanto
\mu_Y = 2\mu_{X}(1)+1\cdot\mu_{X}(2).
Substituindo os valores que listamos no Passo 1:
\mu_Y = 2\cdot1 + 1\cdot2 = 2+2 = 4.

Passo 4

Calculando a variância de Y.
Regra (explicação didática): para Y=aX(1)+bX(2),
\operatorname{Var}(Y)=a^{2}\operatorname{Var}(X(1))+b^{2}\operatorname{Var}(X(2))+2ab\,\operatorname{Cov}\bigl(X(1),X(2)\bigr).
Aqui usamos que R_{X}(t_{1},t_{2}) é a função de covariância, então \operatorname{Var}(X(t))=R_{X}(t,t) e \operatorname{Cov}(X(1),X(2))=R_{X}(1,2).
Substituindo a=2, b=1 e os valores do Passo 1:
\operatorname{Var}(Y)=2^{2}\cdot R_{X}(1,1)+1^{2}\cdot R_{X}(2,2)+2\cdot2\cdot1\cdot R_{X}(1,2).
Agora numérico:
\operatorname{Var}(Y)=4\cdot 3 + 1\cdot 9 + 4\cdot 5.
Calcule passo a passo:
4\cdot3=12,\qquad 4\cdot5=20.
Então
\operatorname{Var}(Y)=12+9+20=41.
A variância é \sigma_Y^{2}=41. O desvio padrão é
\sigma_Y=\sqrt{41}\approx 6,4031.

Passo 5

Expressar P[Y<3] em termos da normal padrão.
Se Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^{2}), então
P(Y<3)=P\!\left(\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}<\frac{3-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)=\Phi\!\left(\frac{3-\mu_Y}{\sigma_Y}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão N(0,1).
Substituindo \mu_Y=4 e \sigma_Y=\sqrt{41}:
\frac{3-\mu_Y}{\sigma_Y}=\frac{3-4}{\sqrt{41}}=-\frac{1}{\sqrt{41}}\approx -0,15617.
Logo
P\bigl(2X(1)+X(2)<3\bigr)=\Phi\!\left(-\frac{1}{\sqrt{41}}\right).

Passo 6

Avaliação numérica final e interpretação rápida.
A função \Phi satisfaz \Phi(-z)=1-\Phi(z). Para z\approx0,15617 tem-se \Phi(-0,15617)\approx 0,4380 (aproximação com tabela ou calculadora de normal).
Portanto a probabilidade buscada é aproximadamente 0,4380. Não é muito grande porque a média de Y é 4 e estamos pedindo Y<3, ou seja um desvio de cerca de 0,156 desvios-padrão abaixo da média — daí a probabilidade um pouco menor que 1/2.

Resposta

\Phi\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{41}}\right)\approx 0,4380

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