Seja
um processo estocástico Gaussiano com
, e
, para todos
.
Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá um processo Gaussiano
com média e função de covariância (ou função de segunda ordem) conhecidas:
-
para todo . -
para todo .
A pergunta é calcular a probabilidade
Vou listar explicitamente as informações úteis que já temos:
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 2
Ideia do método (sem matemática pesada ainda): como
é um processo Gaussiano, o vetor
é uma v.d.a. Gaussian (distribuição normal multivariada). Uma combinação linear de componentes de um vetor Gaussiano é novamente uma variável normal (Gaussiana) unidimensional. Portanto a variável escalar
é normalmente distribuída. Para obter
precisamos só da média
e da variância
de
. Em seguida usamos a CDF da normal padrão para transformar em probabilidade.
Agora vamos aplicar as fórmulas concretas.
Passo 3
Calculando a média de
.
Regra (explicação didática): a média de uma combinação linear é a combinação linear das médias. Se
, então
. Aqui
e
.
Portanto
Substituindo os valores que listamos no Passo 1:
Passo 4
Calculando a variância de
.
Regra (explicação didática): para
,
Aqui usamos que
é a função de covariância, então
e
.
Substituindo
,
e os valores do Passo 1:
Agora numérico:
Calcule passo a passo:
Então
A variância é
. O desvio padrão é
Passo 5
Expressar
em termos da normal padrão.
Se
, então
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão
.
Substituindo
e
:
Logo
Passo 6
Avaliação numérica final e interpretação rápida.
A função
satisfaz
. Para
tem-se
(aproximação com tabela ou calculadora de normal).
Portanto a probabilidade buscada é aproximadamente
. Não é muito grande porque a média de
é
e estamos pedindo
, ou seja um desvio de cerca de
desvios-padrão abaixo da média — daí a probabilidade um pouco menor que
.