Seja (,) o produto interno canônico sôbre
e seja
o operador linear
. Ora,
é "a rotação de
" e possui a propriedade de que
para todo
em
. Determinar todos os produtos internos
,
tais que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as formas bilineares simétricas definidas positivas
(todos os produtos internos) tais que, para todo
, vale
onde
é a rotação de
dada por
Para resolver precisamos:
- Representar um produto interno qualquer por uma matriz simétrica positiva.
- Traduzir a condição
em equação matricial. - Solucionar essa equação, garantindo positividade.
Passo 2
Qualquer produto interno em
pode ser escrito como
onde
é uma matriz
real, simétrica
e definida positiva (todos os autovalores positivos).
Passo 3
A condição
para todo
é
Isto equivale a dizer que a matriz
é obliteradora no produto quadrático, ou seja
o que significa exatamente que
é escorregadia (skew-symmétrica):
Passo 4
Calculemos
. Como
e
, temos
A condição
vira
isto é,
comuta com
.
Passo 5
Buscamos todas as matrizes
simétricas definidas positivas que comutem com
Como
representa a multiplicação por
no plano, a sua comutante (no espaço real) é o conjunto
Mas
, então qualquer polinômio em
reduz-se a
com
. A condição
impõe
Logo
e a positividade exige
.]
Resposta
Todos os produtos internos são exatamente os múltiplos escalares do produto interno canônico. Ou seja, para algum
vale