Seja (,) o produto interno canônico sôbre C^{2} e seja T o operador linear T\left(x_{2}, x_{1}\right)=\left(-x_{2}, x_{1}\right). Ora, T é "a rotação de 90^{\circ} " e possui a propriedade de que (\alpha, T \alpha)=0 para todo \alpha em R^{2}. Determinar todos os produtos internos [, ] sôbre R^{2}ô tais que [\alpha, T \alpha]=0 para todo \alpha.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as formas bilineares simétricas definidas positivas
[\cdot,\cdot]:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R
(todos os produtos internos) tais que, para todo \alpha\in\mathbb R^2, vale
[\alpha,\,T\alpha]=0,
onde T é a rotação de 90^\circ dada por
T\bigl(x_1,x_2\bigr)=\bigl(-x_2,x_1\bigr).
Para resolver precisamos:
  1. Representar um produto interno qualquer por uma matriz simétrica positiva.
  2. Traduzir a condição [\alpha,T\alpha]=0 em equação matricial.
  3. Solucionar essa equação, garantindo positividade.

Passo 2

Qualquer produto interno em \mathbb R^2 pode ser escrito como
[x,y]=x^T A\,y,
onde A é uma matriz 2\times2 real, simétrica A^T=A e definida positiva (todos os autovalores positivos).

Passo 3

A condição [\alpha,T\alpha]=0 para todo \alpha é
\alpha^T A\,(T\alpha)=0 \quad\forall\,\alpha.
Isto equivale a dizer que a matriz AT é obliteradora no produto quadrático, ou seja
\alpha^T(AT)\,\alpha=0 \quad\forall\,\alpha,
o que significa exatamente que AT é escorregadia (skew-symmétrica):
(AT)^T = -\,AT.

Passo 4

Calculemos (AT)^T. Como A^T=A e T^T=-T, temos
(AT)^T = T^T A^T = (-T)A = -\,T A.
A condição (AT)^T = -\,AT vira
-\,T A = -\,A T \quad\Longrightarrow\quad T A = A T,
isto é, A comuta com T.

Passo 5

Buscamos todas as matrizes A simétricas definidas positivas que comutem com
T=\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Como T representa a multiplicação por i no plano, a sua comutante (no espaço real) é o conjunto
\{\,p(T)\mid p\text{ polinômio real}\}.ô
Mas T^2=-I, então qualquer polinômio em T reduz-se a
A = a\,I + b\,T,
com a,b\in\mathbb R. A condição A^T=A impõe
(aI + bT)^T = aI + b\,T^T = aI - b\,T \overset!= aI + b\,T \quad\Longrightarrow\quad b\,T = -\,b\,T \quad\Longrightarrow\quad b=0.
Logo
A = a\,I,
e a positividade exige a>0.]

Resposta

Todos os produtos internos são exatamente os múltiplos escalares do produto interno canônico. Ou seja, para algum \lambda>0 vale
[x,y] \;=\;\lambda\,x^T y.

Exercícios relacionados