Seja o PVI = y"- y=0; y(0)=-2 e y^{\prime}(0)=-1, resolva utilizando seus conhecimentos sobre equações Diferenciais Ordinárias

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações dadas:
y''-y=0,
y(0)=-2,
y'(0)=-1.
O que se quer: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial \,y''-y=0, para todo x (no domínio considerado) e que também satisfaça as condições iniciais y(0)=-2 e y'(0)=-1.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
Para equações diferenciais lineares de coeficientes constantes como \,y''-y=0, uma técnica clássica é procurar soluções da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. A razão dessa escolha: derivando uma exponencial, obtemos múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial num problema algébrico para r. Vou explicar passo a passo essa transformação a seguir.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica.
Substituindo a tentativa y=e^{r x} na equação \,y''-y=0 obtemos:
y'' = r^2 e^{r x},\qquad y = e^{r x},
logo
r^2 e^{r x} - e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a chamada equação característica:
r^2-1=0.
Agora resolvemos essa equação algébrica:
r^2-1=(r-1)(r+1)=0,
portanto as raízes são
r_1=1,\qquad r_2=-1.
São duas raízes reais distintas.

Passo 4

Construção da solução geral.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que determinamos pelas condições iniciais. Substituindo as raízes que achamos:
y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes reais que representam os coeficientes da combinação linear — na prova, você sempre lembra que essas constantes serão fixadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Derivada da solução geral (precisamos para usar y'(0)).
Derivando termo a termo:
y'(x)=C_1 e^{x} - C_2 e^{-x}.
Expliquei: derivada de e^{x} é e^{x}; derivada de e^{-x} é -e^{-x}, por isso o sinal menos no segundo termo.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais e resolver para C_1 e C_2.
Use y(0)=-2. Substituindo x=0 em y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}:
y(0)=C_1 e^{0} + C_2 e^{0}=C_1 + C_2 = -2.
Essa é a primeira equação para as constantes:
\text{(I)}\qquad C_1 + C_2 = -2.
Agora use y'(0)=-1. Substituindo x=0 em y'(x)=C_1 e^{x} - C_2 e^{-x}:
y'(0)=C_1 e^{0} - C_2 e^{0}=C_1 - C_2 = -1.
Essa é a segunda equação:
\text{(II)}\qquad C_1 - C_2 = -1.
Agora resolvemos o sistema linear formado por (I) e (II). Soma (I) e (II):
(C_1 + C_2) + (C_1 - C_2) = -2 + (-1),
ou seja
2C_1 = -3 \implies C_1 = -\frac{3}{2}.
Substitui C_1 em (I):
-\frac{3}{2} + C_2 = -2 \implies C_2 = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}.
Portanto
C_1 = -\frac{3}{2},\qquad C_2 = -\frac{1}{2}.

Passo 7

Verificação rápida (por que isso resolve o PVI).
A solução geral y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x} satisfaz identicamente a equação \,y''-y=0 para quaisquer constantes C_1,C_2 porque, derivando duas vezes e substituindo, encontra-se zero (essa verificação é direta: y''=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}=y, então y''-y=0). As condições iniciais determinam C_1 e C_2 como fizemos no passo anterior, então com C_1=-\tfrac{3}{2} e C_2=-\tfrac{1}{2} obtemos a solução única do PVI.

Resposta

y(x)=-\tfrac{3}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{-x}

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