Seja o PVI = y"-
;
e
, resolva utilizando seus conhecimentos sobre equações Diferenciais Ordinárias
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações dadas:
O que se quer: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial
, para todo
(no domínio considerado) e que também satisfaça as condições iniciais
e
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
Para equações diferenciais lineares de coeficientes constantes como , uma técnica clássica é procurar soluções da forma exponencial
Para equações diferenciais lineares de coeficientes constantes como
onde
é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. A razão dessa escolha: derivando uma exponencial, obtemos múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial num problema algébrico para
. Vou explicar passo a passo essa transformação a seguir.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica.
Substituindo a tentativa na equação
obtemos:
Substituindo a tentativa
logo
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a chamada equação característica:
Agora resolvemos essa equação algébrica:
portanto as raízes são
São duas raízes reais distintas.
Passo 4
Construção da solução geral.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
onde
e
são constantes arbitrárias que determinamos pelas condições iniciais. Substituindo as raízes que achamos:
Aqui
e
são constantes reais que representam os coeficientes da combinação linear — na prova, você sempre lembra que essas constantes serão fixadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Derivada da solução geral (precisamos para usar
).
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Expliquei: derivada de
é
; derivada de
é
, por isso o sinal menos no segundo termo.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais e resolver para
e
.
Use . Substituindo
em
:
Use
Essa é a primeira equação para as constantes:
Agora use
. Substituindo
em
:
Essa é a segunda equação:
Agora resolvemos o sistema linear formado por (I) e (II). Soma (I) e (II):
ou seja
Substitui
em (I):
Portanto
Passo 7
Verificação rápida (por que isso resolve o PVI).
A solução geral satisfaz identicamente a equação
para quaisquer constantes
porque, derivando duas vezes e substituindo, encontra-se zero (essa verificação é direta:
, então
). As condições iniciais determinam
e
como fizemos no passo anterior, então com
e
obtemos a solução única do PVI.
A solução geral