Resolva a equação diferencial em série de potências de x (centrada em x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0, y(0)=4, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução da equação diferencial dada por
y'' + x y' + 2y = 0
como série de potências centrada em x_0=0, dar uma fórmula fechada para o termo geral de cada série (as duas séries que aparecem: termos de grau par e de grau ímpar) e indicar um intervalo onde a solução é válida.
Informações dadas:
y(0)=4,\qquad y'(0)=-1.
Não vamos ainda resolver nada — apenas organizamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar. Calculamos as derivadas termo a termo (explico por que é permitido: séries de potências podem ser derivadas termo a termo dentro do raio de convergência):
Derivando uma vez:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n,
onde, na segunda igualdade, substituí n\mapsto n+1 para ter potências x^n.
Derivando duas vezes:
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n,
onde, novamente, mudei índice para igualar as potências.
Também precisamos de x y'(x):
x y'(x)=x\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n.
Note que escrevi a última soma em potências x^n (com n a partir de 1); como o termo n=0 é zero, posso também escrever \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n sem erro.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n+\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n+2\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=0.
Somando os dois últimos somatórios obtemos (n+2)a_n como coeficiente de x^n. Então, coletando em potências de x^n:
\sum_{n=0}^{\infty}\big[(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+2)a_n\big]x^n=0.
Para que esta igualdade de séries seja verdadeira para todo x dentro do raio de convergência, os coeficientes de cada x^n devem ser zero. Assim obtemos a recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+2)a_n=0.
Como n+2\neq 0, dividimos por n+2 e simplificamos:
a_{n+2}=-\frac{a_n}{n+1},\qquad n\ge 0.
Esta relação liga a_{n+2} a a_n: os coeficientes separam em duas seqüências independentes (pares e ímpares).

Passo 4

Usamos as condições iniciais para fixar a_0 e a_1. Pela definição da série:
y(0)=a_0=4,
e, como y'(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n,
y'(0)=a_1=-1.
Agora calculamos alguns termos iniciais para ver padrão:
a_2=-\frac{a_0}{1}=-4,
a_3=-\frac{a_1}{2}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2},
a_4=-\frac{a_2}{3}=-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3},
a_5=-\frac{a_3}{4}=-\frac{1/2}{4}=-\frac{1}{8},
a_6=-\frac{a_4}{5}=-\frac{4/3}{5}=-\frac{4}{15},
etc. Vê-se que os termos pares dependem somente de a_0 e os ímpares somente de a_1.

Passo 5

Agora obtemos a fórmula fechada para os coeficientes dos termos de grau par. Usamos indução observando a recorrência restrita aos pares: para n=2k,
a_{2(k+1)}= -\frac{a_{2k}}{2k+1}.
Começando com a_0, aplicando essa relação k vezes, obtemos
a_{2k}=(-1)^k\frac{a_0}{\prod_{j=1}^{k}(2j-1)}.
Usando a notação de duplo fatorial, a denominação \prod_{j=1}^{k}(2j-1) é (2k-1)!!. Outra forma equivalente (muito útil) vem da identidade
(2k-1)!!=\frac{(2k)!}{2^k k!},
logo podemos escrever
a_{2k}=(-1)^k a_0\frac{2^k k!}{(2k)!}.
Isto é a fórmula fechada para os coeficientes pares. Para checar, coloque a_0=4 e veja que para k=1 a_2=-4, para k=2 a_4=4/3, que coincidem com os cálculos anteriores.

Passo 6

Analogamente, para os coeficientes ímpares use a recorrência com n=2k+1:
a_{2(k+1)+1}=-\frac{a_{2k+1}}{2k+2}=-\frac{a_{2k+1}}{2(k+1)}.
Iterando a partir de a_1 obtemos
a_{2k+1}=(-1)^k\frac{a_1}{\prod_{j=1}^{k}2j}=(-1)^k\frac{a_1}{2^k k!}.
Substituindo a_1=-1,
a_{2k+1}=(-1)^k\frac{-1}{2^k k!}=(-1)^{k+1}\frac{1}{2^k k!}.
Isto dá a fórmula fechada para os coeficientes ímpares. Conferindo com os termos calculados: para k=1 temos a_3=1/2, para k=2 a_5=-1/8, etc., consistentes.

Passo 7

Escrevemos a solução como soma das partes par e ímpar, substituindo a_0=4 e a_1=-1. Para os pares:
\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k}=4\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{2^k k!}{(2k)!}x^{2k}.
Para os ímpares:
\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^{2k+1}}{2^k k!}.
Portanto a solução y(x) é
y(x)=4\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{2^k k!}{(2k)!}x^{2k}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^{2k+1}}{2^k k!}.

Passo 8

Intervalo de validade (raio de convergência). Mostramos que as duas séries têm raio de convergência infinito, logo a solução é válida para todo x\in\mathbb{R}.
Argumento simples: para os pares temos, usando \prod_{j=1}^k(2j-1)\ge \prod_{j=1}^k j = k! (porque 2j-1\ge j para todo j\ge1), que
|a_{2k}|=\frac{4}{\prod_{j=1}^k(2j-1)}\le \frac{4}{k!}.
Analogamente, para os ímpares
|a_{2k+1}|\le\frac{1}{2^k k!}.
Como k! cresce mais rápido que qualquer exponencial, os coeficientes vão a 0 muito rápido; pela raiz ou razão, cada série tem raio de convergência infinito. Portanto a solução obtida por série vale para todo x\in(-\infty,\infty).

Resposta

a_{2k}=(-1)^k a_0\frac{2^k k!}{(2k)!},\qquad a_{2k+1}=(-1)^k\frac{a_1}{2^k k!}
com a_0=4 e a_1=-1. Assim
y(x)=4\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{2^k k!}{(2k)!}x^{2k}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^{2k+1}}{2^k k!},
válida para todo x\in(-\infty,\infty).

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