Resolva a equação diferencial em série de potências de
(centrada em
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução da equação diferencial dada por
como série de potências centrada em
, dar uma fórmula fechada para o termo geral de cada série (as duas séries que aparecem: termos de grau par e de grau ímpar) e indicar um intervalo onde a solução é válida.
Informações dadas:
Informações dadas:
Não vamos ainda resolver nada — apenas organizamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências centrada em
:
onde os
são coeficientes a determinar. Calculamos as derivadas termo a termo (explico por que é permitido: séries de potências podem ser derivadas termo a termo dentro do raio de convergência):
Derivando uma vez:
onde, na segunda igualdade, substituí
para ter potências
.
Derivando duas vezes:
onde, novamente, mudei índice para igualar as potências.
Também precisamos de
:
Note que escrevi a última soma em potências
(com
a partir de
); como o termo
é zero, posso também escrever
sem erro.
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação:
Somando os dois últimos somatórios obtemos
como coeficiente de
. Então, coletando em potências de
:
Para que esta igualdade de séries seja verdadeira para todo
dentro do raio de convergência, os coeficientes de cada
devem ser zero. Assim obtemos a recorrência
Como
, dividimos por
e simplificamos:
Esta relação liga
a
: os coeficientes separam em duas seqüências independentes (pares e ímpares).
Passo 4
Usamos as condições iniciais para fixar
e
. Pela definição da série:
e, como
,
Agora calculamos alguns termos iniciais para ver padrão:
etc. Vê-se que os termos pares dependem somente de
e os ímpares somente de
.
Passo 5
Agora obtemos a fórmula fechada para os coeficientes dos termos de grau par. Usamos indução observando a recorrência restrita aos pares: para
,
Começando com
, aplicando essa relação
vezes, obtemos
Usando a notação de duplo fatorial, a denominação
é
. Outra forma equivalente (muito útil) vem da identidade
logo podemos escrever
Isto é a fórmula fechada para os coeficientes pares. Para checar, coloque
e veja que para
dá
, para
dá
, que coincidem com os cálculos anteriores.
Passo 6
Analogamente, para os coeficientes ímpares use a recorrência com
:
Iterando a partir de
obtemos
Substituindo
,
Isto dá a fórmula fechada para os coeficientes ímpares. Conferindo com os termos calculados: para
temos
, para
, etc., consistentes.
Passo 7
Escrevemos a solução como soma das partes par e ímpar, substituindo
e
. Para os pares:
Para os ímpares:
Portanto a solução
é
Passo 8
Intervalo de validade (raio de convergência). Mostramos que as duas séries têm raio de convergência infinito, logo a solução é válida para todo
.
Argumento simples: para os pares temos, usando
(porque
para todo
), que
Analogamente, para os ímpares
Como
cresce mais rápido que qualquer exponencial, os coeficientes vão a
muito rápido; pela raiz ou razão, cada série tem raio de convergência infinito. Portanto a solução obtida por série vale para todo
.
Resposta
com
e
. Assim
válida para todo
.