Seja C o quarto de elipse de equação
x^216+y^225=1, x >= 0, y >= 0
ou seja, aquele trecho da elipse localizado no primeiro quadrante, e considere a função escalar f(x, y)=9 definida em R^2.
(c) Calcule a integral
integral f(x, y) d y

Passo 1

O enunciado define a curva C como o quarto de elipse no primeiro quadrante, dada por
x^216+y^225=1, x>=0,;y>=0,
e pede o integral de linha de segunda espécie
integralCf(x,y),dy
onde f(x,y)=9. Para resolver, vamos parametrizar C e expressar dy em função do parâmetro.

Passo 2

Uma parametrização natural da elipse é
x(t)=4cos t, y(t)=5sin t,
com t variando de 0 até tfracpi2. Assim,
dy = y'(t),dt = 5cos t,dt

Passo 3

Substituindo na integral de linha de segunda espécie, temos
integralCf(x,y),dy =integral0^pi/29;l(5cos tr),dt =45integral0^pi/2cos t,dt

Passo 4

Calculamos o integral de cos t:
integral0^pi/2cos t,dt = l[sin tr]0^pi/2 = 1
Logo,
integralCf(x,y),dy = 45cdot1 = 45

Resposta

45

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