Seja C a curva dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com a superfície z=e^x y, na região do espaço onde x >= 0 e y >= 0.
(a) Encontre uma parametrização r(t) de C, um vetor tangente a C no ponto r(t) e os extremos de C.

Passo 1

O enunciado pede a curva C definida pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com a superfície z=e^xy, restrita ao primeiro quadrante ( x>=0, y>=0). O conteúdo é parametrização de curvas em R^3, cálculo de vetor tangente e identificação dos pontos extremos (início e fim da curva).

Passo 2

Como estamos num cilindro unitário no primeiro quadrante, usemos o parâmetro angular tin[0,tfracpi2] e escrevamos
x=cos t, y=sin t, z=e^xy=e^cos t,sin t
Logo, uma parametrização é
vec r(t)=l(cos t,;sin t,;e^cos t,sin tr), 0<= t<= tfracpi2

Passo 3

O vetor tangente é dado por vec r,'(t), derivando componente a componente:
ddt(cos t)=-sin t, ddt(sin t)=cos t,
e para a terceira componente usamos a regra da cadeia:
ddtl(e^cos t,sin tr) =e^cos t,sin t,ddt(cos t,sin t) =e^cos t,sin tcos(2t)
Portanto,
vec r,'(t)=l(-sin t,;cos t,;e^cos t,sin tcos(2t)r)

Passo 4

Os extremos de C correspondem a t=0 e t=tfracpi2.
Para t=0:
vec r(0)=(cos0,sin0,e^0)=(1,0,1).
Para t=tfracpi2:
vec r(tfracpi2)=(costfracpi2,sintfracpi2,e^0)=(0,1,1).

Resposta

vec r(t)=(cos t,;sin t,;e^cos t,sin t),;0<= t<= tfracpi2
vec r,'(t)=(-sin t,;cos t,;e^cos t,sin tcos(2t))
Extremos: vec r(0)=(1,0,1) e vec r(tfracpi2)=(0,1,1).

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