-8 Seja
um conjunto com 6 elementos e seja
o conjunto de todos os subconjuntos de
. Os subconjuntos A e B de S, não necessariamente distintos, são escolhidos de forma independente e aleatória em
. Determine a probabilidade de que B esteja contido em pelo menos um dos conjuntos A ou S \A.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
é um conjunto com elementos. -
é o conjunto de todos os subconjuntos de . Logo . - Dois subconjuntos
e de são escolhidos de forma independente e aleatória, uniformemente em .
O que se pede: - Determinar a probabilidade de que
esteja contido em pelo menos um dos conjuntos ou . Em símbolos, queremos
Passo 2
Vamos primeiro fixar um subconjunto qualquer
e calcular, condicionado em
, a probabilidade de que
. Quantos subconjuntos
de
contêm um dado
?
- Se
, então os elementos de que não estão em são e cada um desses pode ou não entrar em . Portanto existem subconjuntos que contêm .
Como o total de subconjuntospossíveis é , temos
(Isto é intuitivo: quanto maior
, menor a probabilidade de que um
aleatório o contenha.)
Passo 3
Agora calcule a probabilidade, ainda condicionada em um
com
, de que
. A condição
é equivalente a pedir que
não contenha nenhum elemento de
, ou seja
. Para construir tal
pode-se escolher livremente qualquer subconjunto dos
elementos de
, totalizando novamente
opções. Assim
Passo 4
Para um
Pela Passo 2 e Passo 3 os dois primeiros termos somam
. O termo
é a probabilidade de que
seja simultaneamente subset de
e de
. Isso só é possível se
. Portanto
Logo, para (|B|=k],
]
Passo 5
Agora removemos a condição sobre
:
é escolhido uniformemente entre os
subconjuntos. Assim a probabilidade total procurada é a média, sobre todos os
, da quantidade do Passo 4:
Agrupando por tamanhos
e usando que há
subconjuntos de tamanho
, obtemos
(O termo
vem de subtrair
uma vez, pois existe exatamente um subconjunto com
.)
Passo 6
Calcule a soma binomial usando o Teorema do Binômio. Para
vale
Substituindo na expressão do Passo 5:
Simplificando a fração por
:
Em valor decimal aproximado,
.