-8 Seja S um conjunto com 6 elementos e seja \mathcal{P}(S) o conjunto de todos os subconjuntos de S. Os subconjuntos A e B de S, não necessariamente distintos, são escolhidos de forma independente e aleatória em \mathcal{P}(\mathrm{S}). Determine a probabilidade de que B esteja contido em pelo menos um dos conjuntos A ou S \A.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • S é um conjunto com 6 elementos.
  • \mathcal{P}(S) é o conjunto de todos os subconjuntos de S. Logo |\mathcal{P}(S)|=2^{6}=64.
  • Dois subconjuntos A e B de S são escolhidos de forma independente e aleatória, uniformemente em \mathcal{P}(S).
    O que se pede:
  • Determinar a probabilidade de que B esteja contido em pelo menos um dos conjuntos A ou S\setminus A. Em símbolos, queremos
\mathbb{P}\bigl(B\subseteq A\\ \text{ou}\\ B\subseteq S\setminus A\bigr).

Passo 2

Vamos primeiro fixar um subconjunto qualquer B e calcular, condicionado em B, a probabilidade de que B\subseteq A. Quantos subconjuntos A de S contêm um dado B?
  • Se |B|=k, então os elementos de S que não estão em B são 6-k e cada um desses pode ou não entrar em A. Portanto existem 2^{6-k} subconjuntos A que contêm B.
    Como o total de subconjuntos A possíveis é 2^{6}, temos
\mathbb{P}\bigl(B\subseteq A\mid B\bigr)=\frac{2^{6-k}}{2^{6}}=2^{-k}.
(Isto é intuitivo: quanto maior B, menor a probabilidade de que um A aleatório o contenha.)

Passo 3

Agora calcule a probabilidade, ainda condicionada em um B com |B|=k, de que B\subseteq S\setminus A. A condição B\subseteq S\setminus A é equivalente a pedir que A não contenha nenhum elemento de B, ou seja A\cap B=\varnothing. Para construir tal A pode-se escolher livremente qualquer subconjunto dos 6-k elementos de S\setminus B, totalizando novamente 2^{6-k} opções. Assim
\mathbb{P}\bigl(B\subseteq S\setminus A\mid B\bigr)=\frac{2^{6-k}}{2^{6}}=2^{-k}.

Passo 4

Para um B\) fixo (com \(|B|=k\)) a probabilidade do evento pedido (que \(B\) esteja contido em pelo menos um de \(A\) ou \(S\setminus A\)) é a probabilidade da união dos dois eventos. Usamos a fórmula de inclusão-exclusão: \[\mathbb{P}\bigl(B\subseteq A\\ \text{ou}\\ B\subseteq S\setminus A\mid B\bigr)=\mathbb{P}(B\subseteq A\mid B)+\mathbb{P}(B\subseteq S\setminus A\mid B)-\mathbb{P}(\text{ambos}\mid B).
Pela Passo 2 e Passo 3 os dois primeiros termos somam 2\cdot 2^{-k}. O termo \mathbb{P}(\text{ambos}\mid B) é a probabilidade de que B seja simultaneamente subset de A e de S\setminus A. Isso só é possível se B=\varnothing. Portanto
\mathbb{P}(\text{ambos}\mid B)= \begin{cases} 1,&\text{se }k=0,\\[4pt] 0,&\text{se }k\ge1. \end{cases}
Logo, para (|B|=k],
\mathbb{P}\bigl(B\subseteq A\\ \text{ou}\\ B\subseteq S\setminus A\mid B\bigr)=2\cdot 2^{-k}-\mathbf{1}_{k=0}.]

Passo 5

Agora removemos a condição sobre B: B é escolhido uniformemente entre os 2^{6} subconjuntos. Assim a probabilidade total procurada é a média, sobre todos os B, da quantidade do Passo 4:
\mathbb{P}=\frac{1}{2^{6}}\sum_{B\subseteq S}\bigl(2\cdot 2^{-|B|}-\mathbf{1}_{|B|=0}\bigr).
Agrupando por tamanhos k=|B| e usando que há \binom{6}{k} subconjuntos de tamanho k, obtemos
\mathbb{P}=\frac{1}{2^{6}}\left(2\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}2^{-k}-1\right).
(O termo -1 vem de subtrair \mathbf{1}_{k=0} uma vez, pois existe exatamente um subconjunto com k=0.)

Passo 6

Calcule a soma binomial usando o Teorema do Binômio. Para x=\tfrac{1}{2} vale
\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{k}=\Bigl(1+\tfrac{1}{2}\Bigr)^{6}=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{6}=\frac{3^{6}}{2^{6}}=\frac{729}{64}.
Substituindo na expressão do Passo 5:
\mathbb{P}=\frac{1}{64}\left(2\cdot\frac{729}{64}-1\right)=\frac{1}{64}\left(\frac{1458}{64}-1\right)=\frac{1}{64}\cdot\frac{1458-64}{64}=\frac{1394}{4096}.
Simplificando a fração por 2:
\mathbb{P}=\frac{697}{2048}.
Em valor decimal aproximado, \tfrac{697}{2048}\approx0,340.

Resposta

\dfrac{697}{2048}

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