• 10 Qual é a probabilidade de que uma mão de bridge com 13 cartas, distribuída aleatoriamente a partir de um baralho padrão de 52 cartas, seja vazia em algum naipe, isto é, não contenha nenhuma carta de pelo menos um dos naipes?

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade de que uma mão de bridge com 13 cartas, aleatoriamente distribuída a partir de um baralho de 52 cartas, seja vazia em algum naipe — isto é, que não contenha nenhuma carta de pelo menos um dos quatro naipes?
  • Informação básica: uma mão de bridge é um conjunto de 13 cartas escolhidas sem ordem de um baralho de 52 cartas. O número total de mãos possíveis é
\binom{52}{13}.
  • Objetivo: calcular a probabilidade de que exista pelo menos um naipe com 0 cartas na mão.

Passo 2

Escolha do método (contagem combinatória + princípio da inclusão-exclusão) e definição de eventos.
  • Estratégia: contar o número de mãos que deixam de fora pelo menos um naipe e dividir pelo total \binom{52}{13}.
  • Definir, para i=1,2,3,4, o evento A_i = "a mão não contém cartas do naipe i". Queremos
P\bigl(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\bigr).
  • Como há sobreposição entre eventos (por exemplo, pode faltar dois naipes ao mesmo tempo), aplicamos o princípio da inclusão-exclusão:
P\bigl(\bigcup_{i=1}^{4} A_i\bigr) = \sum_{i}\!P(A_i) - \sum_{i<j}\!P(A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\!P(A_i\cap A_j\cap A_k) - P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4).
  • Observação útil: é impossível que a mão seja vazia em todos os quatro naipes (isso exigiria 0 cartas), portanto P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)=0.

Passo 3

Contagem e probabilidade de faltar exatamente um naipe (ter 0 cartas de um naipe específico).
  • Se fixarmos um naipe que não aparece, todas as 13 cartas devem vir das outras 39 cartas (os três outros naipes). O número de mãos com esse naipe ausente é \binom{39}{13}.
  • Como há 4 naipes possíveis, a soma inicial dos casos únicos é 4\binom{39}{13}.
  • Assim, para um naipe específico,
P(A_i)=\frac{\binom{39}{13}}{\binom{52}{13}}.

Passo 4

Contagem e probabilidade de faltar exatamente dois naipes (não conter cartas de dois naipes específicos).
  • Se dois naipes estão ausentes, todas as 13 cartas devem vir das 26 cartas dos dois naipes restantes. O número de mãos é \binom{26}{13}.
  • Existem \binom{4}{2}=6 pares de naipes que podem ser ausentes, então o total da segunda soma é 6\binom{26}{13}.
  • Para um par específico,
P(A_i\cap A_j)=\frac{\binom{26}{13}}{\binom{52}{13}}.

Passo 5

Contagem e probabilidade de faltar exatamente três naipes (ter todas as 13 cartas de um único naipe).
  • Se três naipes estão ausentes, então todas as 13 cartas devem pertencer ao único naipe restante; há \binom{13}{13}=1 mão desse tipo por naipe.
  • Existem \binom{4}{3}=4 escolhas de qual naipe é a única presente, logo total 4\cdot 1.
  • Para uma escolha de três ausentes,
P(A_i\cap A_j\cap A_k)=\frac{\binom{13}{13}}{\binom{52}{13}}=\frac{1}{\binom{52}{13}}.

Passo 6

Escrever a fórmula final exata (inclusão-exclusão) e simplificar.
  • Aplicando inclusão-exclusão:
P\bigl(\text{ao menos um naipe ausente}\bigr) = \frac{4\binom{39}{13} - 6\binom{26}{13} + 4\binom{13}{13}}{\binom{52}{13}}.
  • Esta é a expressão exata. A seguir calculamos uma aproximação numérica para interpretar o resultado.

Passo 7

Cálculo numérico aproximado das frações, explicando como calcular sem recorrer à computação de combinatórios enormes.
  • É prático calcular quocientes do tipo \dfrac{\binom{n}{13}}{\binom{52}{13}} usando a fórmula de produto
\frac{\binom{n}{13}}{\binom{52}{13}} = \prod_{t=0}^{12} \frac{n-t}{52-t},
pois os fatores são números razoáveis que podem ser multiplicados passo a passo.
  • Para n=39 (faltar um naipe):
\frac{\binom{39}{13}}{\binom{52}{13}} = \prod_{t=0}^{12} \frac{39-t}{52-t} \approx 0,0127700.
Logo 4\cdot \dfrac{\binom{39}{13}}{\binom{52}{13}}\approx 4\cdot 0,0127700 = 0,0510800.
  • Para n=26 (faltar dois naipes):
\frac{\binom{26}{13}}{\binom{52}{13}} = \prod_{t=0}^{12} \frac{26-t}{52-t} \approx 0,0000163602.
Logo 6\cdot \dfrac{\binom{26}{13}}{\binom{52}{13}}\approx 6\cdot 0,0000163602 = 0,0000981612.
  • Para n=13 (faltar três naipes):
\frac{\binom{13}{13}}{\binom{52}{13}} = \frac{1}{\binom{52}{13}} \approx 1{,}574\times 10^{-12},
e 4 vezes isso é desprezível numericamente (aprox. 6{,}3\times 10^{-12}).
  • Agora aplicando a fórmula numérica:
P \approx 0,0510800 - 0,0000981612 + 0{,}0000000000063 \approx 0{,}0509818388.

Passo 8

Interpretação e motivação final (um empurrãozinho de ânimo).
  • Conclusão interpretativa: a chance de que uma mão de 13 cartas esteja vazia em pelo menos um naipe é cerca de 5{,}098\%. É um evento pouco comum, mas não raro — em cada ~20 mãos aparece, em média, uma mão com ausência de algum naipe.
  • Relaxa: a técnica principal aqui é reconhecer que se trata de contagem por combinações e que a inclusão-exclusão corrige as sobrecontagens. Com prática, esse tipo de problema vira rotina.

Resposta

\frac{4\binom{39}{13} - 6\binom{26}{13} + 4\binom{13}{13}}{\binom{52}{13}} \approx 0{,}0509818388

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