- 10 Qual é a probabilidade de que uma mão de bridge com 13 cartas, distribuída aleatoriamente a partir de um baralho padrão de 52 cartas, seja vazia em algum naipe, isto é, não contenha nenhuma carta de pelo menos um dos naipes?
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pergunta: Qual é a probabilidade de que uma mão de bridge com 13 cartas, aleatoriamente distribuída a partir de um baralho de 52 cartas, seja vazia em algum naipe — isto é, que não contenha nenhuma carta de pelo menos um dos quatro naipes?
- Informação básica: uma mão de bridge é um conjunto de
cartas escolhidas sem ordem de um baralho de cartas. O número total de mãos possíveis é
- Objetivo: calcular a probabilidade de que exista pelo menos um naipe com
cartas na mão.
Passo 2
Escolha do método (contagem combinatória + princípio da inclusão-exclusão) e definição de eventos.
- Estratégia: contar o número de mãos que deixam de fora pelo menos um naipe e dividir pelo total
. - Definir, para
, o evento = "a mão não contém cartas do naipe ". Queremos
- Como há sobreposição entre eventos (por exemplo, pode faltar dois naipes ao mesmo tempo), aplicamos o princípio da inclusão-exclusão:
- Observação útil: é impossível que a mão seja vazia em todos os quatro naipes (isso exigiria 0 cartas), portanto
.
Passo 3
Contagem e probabilidade de faltar exatamente um naipe (ter 0 cartas de um naipe específico).
- Se fixarmos um naipe que não aparece, todas as
cartas devem vir das outras cartas (os três outros naipes). O número de mãos com esse naipe ausente é . - Como há
naipes possíveis, a soma inicial dos casos únicos é . - Assim, para um naipe específico,
Passo 4
Contagem e probabilidade de faltar exatamente dois naipes (não conter cartas de dois naipes específicos).
- Se dois naipes estão ausentes, todas as
cartas devem vir das cartas dos dois naipes restantes. O número de mãos é . - Existem
pares de naipes que podem ser ausentes, então o total da segunda soma é . - Para um par específico,
Passo 5
Contagem e probabilidade de faltar exatamente três naipes (ter todas as
cartas de um único naipe).
- Se três naipes estão ausentes, então todas as
cartas devem pertencer ao único naipe restante; há mão desse tipo por naipe. - Existem
escolhas de qual naipe é a única presente, logo total . - Para uma escolha de três ausentes,
Passo 6
Escrever a fórmula final exata (inclusão-exclusão) e simplificar.
- Aplicando inclusão-exclusão:
- Esta é a expressão exata. A seguir calculamos uma aproximação numérica para interpretar o resultado.
Passo 7
Cálculo numérico aproximado das frações, explicando como calcular sem recorrer à computação de combinatórios enormes.
- É prático calcular quocientes do tipo
usando a fórmula de produto
pois os fatores são números razoáveis que podem ser multiplicados passo a passo.
- Para
(faltar um naipe):
Logo
- Para
(faltar dois naipes):
Logo
- Para
(faltar três naipes):
e
vezes isso é desprezível numericamente (aprox.
).
- Agora aplicando a fórmula numérica:
Passo 8
Interpretação e motivação final (um empurrãozinho de ânimo).
- Conclusão interpretativa: a chance de que uma mão de
cartas esteja vazia em pelo menos um naipe é cerca de . É um evento pouco comum, mas não raro — em cada ~20 mãos aparece, em média, uma mão com ausência de algum naipe. - Relaxa: a técnica principal aqui é reconhecer que se trata de contagem por combinações e que a inclusão-exclusão corrige as sobrecontagens. Com prática, esse tipo de problema vira rotina.