Seja 
  um subespaço vetorial de um espaço vetorial 
 . Classifique cada afirmativa abaixo em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
a. Se 
  e 
 , então 
 .
b. Se 
  e 
 , então 
 .
a. Se
b. Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço vetorial 
  de um espaço vetorial 
 . A questão pede para a gente dizer se duas afirmações são verdadeiras ou falsas, explicando o porquê. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como ele se comporta com a soma e multiplicação de vetores.
Passo 2
Vamos analisar a afirmativa a: “Se 
  e 
 , então 
 .”
Primeiro, lembre-se que um subespaço vetorial 
  precisa ser fechado sob a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que se 
  e 
  estão dentro de 
 , então 
  também está em 
 .
Mas a afirmação está falando do contrário: se 
  e 
  não estão em 
 . Será que a soma desses vetores também não está em 
 ?
Na verdade, isso não é necessariamente verdade. Mesmo que 
  e 
  não estejam em 
 , a soma deles pode estar em 
 . Por exemplo, considere 
  como o eixo x no plano 
 . Se 
  e 
 , ambos não estão em 
 , mas 
  também não está. Porém, se escolhermos 
  e 
 , a soma 
  que está em 
 .
Passo 3
Agora, vamos para a afirmativa b: “Se 
  e 
 , então 
 .”
Aqui, consideramos a multiplicação de um vetor 
  que não está em 
  por um escalar 
  diferente de zero. Como 
  é um subespaço vetorial, ele é fechado na multiplicação por escalar. Isso significa que se 
  estivesse em 
 , então 
  também estaria em 
  (dividindo por 
 , já que 
 ). Mas como 
  não está em 
 , então 
  também não está em 
 .
Resposta
a. Falso. Mesmo que 
  e 
  não estejam em 
 , a soma 
  pode ou não estar em 
 .
b. Verdadeiro. Se 
  não está em 
  e 
 , então 
  também não está em 
 .