Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
x^{2}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2}=1
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos horizontais z=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} - z^{2} = 1
no espaço \mathbb{R}^3. Trata-se de uma quádricas com dois termos positivos e um termo negativo, ou seja, um hiperbolóide de uma folha. Vamos:
  1. Encontrar interseções com os eixos coordenados.
  2. Determinar e esboçar os traços em xy, yz e xz.
  3. Determinar e esboçar os traços em planos horizontais z = k.
  4. Usar tudo isso para esboçar S.

Passo 2

Interseções com os eixos coordenados obtêm-se fazendo duas variáveis zero:
– Eixo x: y=0, z=0 em
x^{2} = 1
daí x = \pm 1. Pontos (\pm 1,0,0).
– Eixo y: x=0, z=0 em
\frac{y^{2}}{9} = 1
daí y = \pm 3. Pontos (0,\pm 3,0).
– Eixo z: x=0, y=0 em
-\,z^{2} = 1
não há solução real. Logo, não há interseção com o eixo z.

Passo 3

Traços nos planos coordenados:
– Plano z=0:
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1
é uma elipse centrada na origem, semi-eixos a=1 em x e b=3 em y.
– Plano x=0:
\frac{y^{2}}{9} - z^{2} = 1
é uma hipérbole centrada na origem, ramos abertos ao longo do eixo y.
– Plano y=0:
x^{2} - z^{2} = 1
é uma hipérbole centrada na origem, ramos abertos ao longo do eixo x.

Passo 4

Traços em planos horizontais z = k:
Substituindo z=k em
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} - k^{2} = 1
obtemos
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1 + k^{2}.
Para cada k, isso é uma elipse centrada em (0,0,k) com semi-eixos \sqrt{1+k^{2}} ao longo de x e 3\sqrt{1+k^{2}} ao longo de y. Conforme |k| aumenta, as elipses crescem.

Passo 5

Esboço de S:
– No plano z=0 temos a “cintura” elíptica x^{2} + y^{2}/9 =1.
– Para z\neq0, elipses maiores dão a curvatura “para fora”.
– As hipérboles nos planos x=0 e y=0 mostram como o “perfil” se abre.
Unindo esses traços vemos um hiperbolóide de uma folha simétrico em relação ao eixo z.

Resposta

(a) Pontos de interseção: (\pm1,0,0) e (0,\pm3,0). Não há interseção com o eixo z.
(b) Traços em planos coordenados:
z =0\to elipse x^{2} + y^{2}/9 =1.
x =0\to hipérbole y^{2}/9 - z^{2}=1.
y =0\to hipérbole x^{2} - z^{2}=1.
(c) Traços em z=k: elipses
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1 + k^{2},
semi-eixos \sqrt{1+k^{2}} e 3\sqrt{1+k^{2}}, para todo k\in\mathbb{R}.
(d) A superfície é um hiperbolóide de uma folha, de eixo no z, com cintura na elipse x^{2}+y^{2}/9=1 em z=0.

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