Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos horizontais
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
no espaço
. Trata-se de uma quádricas com dois termos positivos e um termo negativo, ou seja, um hiperbolóide de uma folha. Vamos:
- Encontrar interseções com os eixos coordenados.
- Determinar e esboçar os traços em
, e . - Determinar e esboçar os traços em planos horizontais
. - Usar tudo isso para esboçar
.
Passo 2
Interseções com os eixos coordenados obtêm-se fazendo duas variáveis zero:
– Eixo
:
,
em
daí
. Pontos
.
– Eixo
:
,
em
daí
. Pontos
.
– Eixo
:
,
em
não há solução real. Logo, não há interseção com o eixo
.
Passo 3
Traços nos planos coordenados:
– Plano
:
é uma elipse centrada na origem, semi-eixos
em
e
em
.
– Plano
:
é uma hipérbole centrada na origem, ramos abertos ao longo do eixo
.
– Plano
:
é uma hipérbole centrada na origem, ramos abertos ao longo do eixo
.
Passo 4
Traços em planos horizontais
:
Substituindo
em
obtemos
Para cada
, isso é uma elipse centrada em
com semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
. Conforme
aumenta, as elipses crescem.
Passo 5
Esboço de
:
– No plano
temos a “cintura” elíptica
.
– Para , elipses maiores dão a curvatura “para fora”.
– As hipérboles nos planos e
mostram como o “perfil” se abre.
Unindo esses traços vemos um hiperbolóide de uma folha simétrico em relação ao eixo .
– Para
– As hipérboles nos planos
Unindo esses traços vemos um hiperbolóide de uma folha simétrico em relação ao eixo
Resposta
(a) Pontos de interseção:
e
. Não há interseção com o eixo
.
(b) Traços em planos coordenados:
z elipse
.
x hipérbole
.
y hipérbole
.
z
x
y
(c) Traços em
: elipses
semi-eixos
e
, para todo
.
(d) A superfície é um hiperbolóide de uma folha, de eixo no
, com cintura na elipse
em
.