Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos horizontais
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
Passo 1
O enunciado define a superfície
por
e pede:
(a) interseções de com os eixos;
(b) traços em cada plano coordenado;
(c) traços nos planos horizontais ;
(d) um esboço de .
O conteúdo principal é o estudo de seções de uma quadriculada (aqui um hiperbolóide) para entender sua forma.
(a) interseções de
(b) traços em cada plano coordenado;
(c) traços nos planos horizontais
(d) um esboço de
O conteúdo principal é o estudo de seções de uma quadriculada (aqui um hiperbolóide) para entender sua forma.
Passo 2
Para achar as interseções com os eixos, basta anular duas coordenadas de cada vez:
– Eixo
:
,
dá
, logo
– Eixo
:
,
dá
, ou seja
, logo
– Eixo
:
,
dá
, impossível em
.
Logo não há interseção com o eixo .
Logo não há interseção com o eixo
Passo 3
Traços em cada plano coordenado:
– Plano
: a equação vira
que é uma elipse centrada na origem, semi-eixos
e
.
– Plano
: a equação fica
que é uma hipérbole no plano
, ramo aberto ao longo de
.
– Plano
: obtemos
outra hipérbole no plano
, ramo aberto ao longo de
.
Passo 4
Traços em planos horizontais
. Basta substituir
e isolar
:
Para todo
,
, logo cada seção é uma elipse de semi-eixos
À medida que
cresce, essas elipses aumentam de tamanho.
Passo 5
Juntando tudo:
– Em
temos a menor elipse de semi-eixos
.
– Para as elipses se alargam simetricamente acima e abaixo de
.
– Nos cortes verticais ou
surgem hipérboles que mostram que há um “gargalo” mínimo em
e depois o corpo se abre.
– Para
– Nos cortes verticais
Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha centralizado na origem, simétrico em relação ao plano
e aos eixos
e
.
Resposta
(a) Os pontos de interseção são
e não há interseção com o eixo
.
(b) Traços em planos coordenados:
(elipse);
(hipérbole);
(hipérbole).
(c) Plano
:
elipse de semi-eixos
e
.
(d) O esboço revela um hiperbolóide de uma folha, com “anel” mínimo em
(a elipse de maiores concentrações) e seções elípticas que crescem conforme
aumenta.