Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
x^{2}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2}=1
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos horizontais z=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado define a superfície S\subset\mathbb{R}^3 por
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} - z^{2} = 1
e pede:
(a) interseções de S com os eixos;
(b) traços em cada plano coordenado;
(c) traços nos planos horizontais z=k;
(d) um esboço de S.
O conteúdo principal é o estudo de seções de uma quadriculada (aqui um hiperbolóide) para entender sua forma.

Passo 2

Para achar as interseções com os eixos, basta anular duas coordenadas de cada vez:
– Eixo x: y=0, z=0 x^2=1, logo
(x,y,z) = (1,0,0)\quad\text{e}\quad(-1,0,0).
– Eixo y: x=0, z=0 \tfrac{y^2}{9}=1, ou seja y=\pm3, logo
(x,y,z) = (0,3,0)\quad\text{e}\quad(0,-3,0).
– Eixo z: x=0, y=0 -z^2=1, impossível em \mathbb{R}.
Logo não há interseção com o eixo z.

Passo 3

Traços em cada plano coordenado:
– Plano z=0: a equação vira
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1,
que é uma elipse centrada na origem, semi-eixos a=1 e b=3.
– Plano y=0: a equação fica
x^{2} - z^{2} = 1,
que é uma hipérbole no plano xz, ramo aberto ao longo de x.
– Plano x=0: obtemos
\frac{y^{2}}{9} - z^{2} = 1,
outra hipérbole no plano yz, ramo aberto ao longo de y.

Passo 4

Traços em planos horizontais z=k. Basta substituir z=k e isolar x,y:
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1 + k^{2}.
Para todo k\in\mathbb{R}, 1+k^2>0, logo cada seção é uma elipse de semi-eixos
a(k) = \sqrt{1+k^{2}}, \quad b(k) = 3\,\sqrt{1+k^{2}}.
À medida que \lvert k\rvert cresce, essas elipses aumentam de tamanho.

Passo 5

Juntando tudo:
– Em z=0 temos a menor elipse de semi-eixos (1,3).
– Para \lvert z\rvert>0 as elipses se alargam simetricamente acima e abaixo de z=0.
– Nos cortes verticais y=0 ou x=0 surgem hipérboles que mostram que há um “gargalo” mínimo em z=0 e depois o corpo se abre.
Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha centralizado na origem, simétrico em relação ao plano z=0 e aos eixos x e y.

Resposta

(a) Os pontos de interseção são
(1,0,0),\;(-1,0,0),\;(0,3,0),\;(0,-3,0),
e não há interseção com o eixo z.
(b) Traços em planos coordenados: z=0:\;x^{2} + \tfrac{y^{2}}{9} = 1 (elipse); y=0:\;x^{2} - z^{2} = 1 (hipérbole); x=0:\;\tfrac{y^{2}}{9} - z^{2} = 1 (hipérbole).
(c) Plano z=k:
x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1 + k^{2},
elipse de semi-eixos \sqrt{1+k^{2}} e 3\sqrt{1+k^{2}}.
(d) O esboço revela um hiperbolóide de uma folha, com “anel” mínimo em z=0 (a elipse de maiores concentrações) e seções elípticas que crescem conforme \lvert z\rvert aumenta.

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