Seja S uma superfície parametrizada por
\varphi(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), \quad \text { com } u \geq 0, v \geq 0, u^{2}+v^{2} \leq 1 .
Determine o plano tangente a S no ponto \varphi\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma superfície parametrizada por
\varphi(u,v)=\left(u,v,1-u^{2}\right),
com domínio u\ge 0, v\ge 0 e u^{2}+v^{2}\le 1. Pede-se: determinar o plano tangente à superfície S no ponto \varphi\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização explícita \varphi(u,v).
  • O ponto onde queremos o plano tangente é \varphi\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right).
  • O domínio garante que o ponto pertence à superfície (não é necessário verificar mais nada para esta questão).

Passo 2

O que é o plano tangente a uma superfície parametrizada e como encontrá-lo (explicação didática):
  • Uma superfície parametrizada por \varphi(u,v) tem, em cada ponto regular, dois vetores tangentes ao ponto dados pelas derivadas parciais \varphi_{u} e \varphi_{v}. Esses vetores geram o plano tangente (ou seja, o espaço tangente é o subespaço linear gerado por esses vetores).
  • Uma forma prática de obter a equação do plano tangente: calcular um vetor normal à superfície no ponto como o produto vetorial \varphi_{u}\times\varphi_{v}. Se \mathbf{n}=(A,B,C) é esse normal e (x_{0},y_{0},z_{0}) é o ponto da superfície, a equação do plano é
A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.
Breve intuição: \varphi_{u} é a velocidade quando variamos u mantendo v fixo; \varphi_{v} é a velocidade quando variamos v mantendo u fixo. Esses dois movimentos ficam dentro da superfície, então o plano gerado por eles é exatamente o plano tangente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais gerais da parametrização (mostrando o passo a passo):
A parametrização é \varphi(u,v)=(u,v,1-u^{2}). Derivando componente a componente:
  • Derivada em relação a u:
\varphi_{u}(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial u}u,\;\frac{\partial}{\partial u}v,\;\frac{\partial}{\partial u}(1-u^{2})\right)=\left(1,0,-2u\right).
Explanação: a primeira componente é u cuja derivada em u é 1; a segunda componente v é tratada como constante ao derivar em u, daí 0; a terceira é 1-u^{2} cuja derivada é -2u.
  • Derivada em relação a v:
\varphi_{v}(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial v}u,\;\frac{\partial}{\partial v}v,\;\frac{\partial}{\partial v}(1-u^{2})\right)=\left(0,1,0\right).
Explanação: agora u é tratado como constante, v deriva para 1, e 1-u^{2} não depende de v então deriva para 0.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto \left(u,v\right)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right):
  • Primeiro, o ponto na superfície é
\varphi\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right).
  • Agora as derivadas:
\varphi_{u}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=\left(1,0,-2\cdot\tfrac{1}{2}\right)=\left(1,0,-1\right),
\varphi_{v}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=\left(0,1,0\right).
Interpretação: no ponto dado, um vetor tangente é (1,0,-1) (movendo-se em u) e o outro é (0,1,0) (movendo-se em v).

Passo 5

Calcular um vetor normal por produto vetorial (mostrar fórmula e contas passo a passo):
  • Fórmula do produto vetorial para \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}):
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr).
  • Aplicando com \mathbf{a}=\varphi_{u}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=(1,0,-1) e \mathbf{b}=\varphi_{v}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=(0,1,0):
    Calcule cada componente:
\text{componente }x: 0\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1,
\text{componente }y: (-1)\cdot 0 - 1\cdot 0 = 0,
\text{componente }z: 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1.
Portanto o vetor normal é
\mathbf{n}=\varphi_{u}\times\varphi_{v}=\left(1,0,1\right).
Observação: qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{n} também serve como normal; escolhemos (1,0,1) que já é simples.

Passo 6

Escrever a equação do plano tangente usando o normal e o ponto:
  • Equação geral do plano com normal (A,B,C) passando por (x_{0},y_{0},z_{0}):
A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.
  • Substituindo A=1, B=0, C=1 e o ponto \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right):
1\cdot\left(x-\tfrac{1}{2}\right)+0\cdot\left(y-\tfrac{1}{4}\right)+1\cdot\left(z-\tfrac{3}{4}\right)=0.
Simplificando:
x-\tfrac{1}{2}+z-\tfrac{3}{4}=0.
Somando as constantes:
x+z-\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}\right)=0.
Calcule \tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{2}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4}. Então a equação fica
x+z-\tfrac{5}{4}=0,
ou, isolando z,
z=\tfrac{5}{4}-x.
Checagem rápida (sanity check): o ponto \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right) satisfaz x+z=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4}, ok. Os vetores tangentes (1,0,-1) e (0,1,0) são ortogonais ao normal (1,0,1) porque seu produto escalar com o normal é zero:
(1,0,-1)\cdot(1,0,1)=1+0-1=0,\qquad (0,1,0)\cdot(1,0,1)=0.
Isso confirma que o plano está correto.

Resposta

x+z=\dfrac{5}{4}

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