Seja
uma superfície parametrizada por
Determine o plano tangente a
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície parametrizada por
com domínio
,
e
. Pede-se: determinar o plano tangente à superfície
no ponto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parametrização explícita
. - O ponto onde queremos o plano tangente é
. - O domínio garante que o ponto pertence à superfície (não é necessário verificar mais nada para esta questão).
Passo 2
O que é o plano tangente a uma superfície parametrizada e como encontrá-lo (explicação didática):
- Uma superfície parametrizada por
tem, em cada ponto regular, dois vetores tangentes ao ponto dados pelas derivadas parciais e . Esses vetores geram o plano tangente (ou seja, o espaço tangente é o subespaço linear gerado por esses vetores). - Uma forma prática de obter a equação do plano tangente: calcular um vetor normal à superfície no ponto como o produto vetorial
. Se é esse normal e é o ponto da superfície, a equação do plano é
Breve intuição:
é a velocidade quando variamos
mantendo
fixo;
é a velocidade quando variamos
mantendo
fixo. Esses dois movimentos ficam dentro da superfície, então o plano gerado por eles é exatamente o plano tangente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais gerais da parametrização (mostrando o passo a passo):
A parametrização é . Derivando componente a componente:
A parametrização é
- Derivada em relação a
:
Explanação: a primeira componente é
cuja derivada em
é
; a segunda componente
é tratada como constante ao derivar em
, daí
; a terceira é
cuja derivada é
.
- Derivada em relação a
:
Explanação: agora
é tratado como constante,
deriva para
, e
não depende de
então deriva para
.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
:
- Primeiro, o ponto na superfície é
- Agora as derivadas:
Interpretação: no ponto dado, um vetor tangente é
(movendo-se em
) e o outro é
(movendo-se em
).
Passo 5
Calcular um vetor normal por produto vetorial (mostrar fórmula e contas passo a passo):
- Fórmula do produto vetorial para
e :
- Aplicando com
e :
Calcule cada componente:
Portanto o vetor normal é
Observação: qualquer múltiplo não-nulo de
também serve como normal; escolhemos
que já é simples.
Passo 6
Escrever a equação do plano tangente usando o normal e o ponto:
- Equação geral do plano com normal
passando por :
- Substituindo
, , e o ponto :
Simplificando:
Somando as constantes:
Calcule
. Então a equação fica
ou, isolando
,
Checagem rápida (sanity check): o ponto
satisfaz
, ok. Os vetores tangentes
e
são ortogonais ao normal
porque seu produto escalar com o normal é zero:
Isso confirma que o plano está correto.