\varphi(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), \quad \text { com } u \geq 0, v \geq 0, u^{2}+v^{2} \leq 1 .
Determine a área de S.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície parametrizada por
\varphi(u,v)=\bigl(u,v,1-u^{2}\bigr)
com a região de parâmetros indicada por
u\ge 0,\quad v\ge 0,\quad u^{2}+v^{2}\le 1.
O que é pedido: determinar a área da superfície S descrita por \varphi quando (u,v) varia nessa região (isto é, a parte da parábola z=1-u^{2} sobre o quarto do disco unitário no plano uv).
Informações importantes extraídas do enunciado:
A função \varphi(u,v) fornece um gráfico z=f(u,v) com f(u,v)=1-u^{2}.
O domínio dos parâmetros é o quarto de disco unitário D=\{(u,v)\mid u\ge0,\\ v\ge0,\\ u^{2}+v^{2}\le1\}.
Precisamos calcular a área da superfície parametrizada por \varphi sobre esse domínio.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): para uma superfície parametrizada por \varphi(u,v) definida num domínio D do plano de parâmetros, a área da superfície é
Aqui \varphi_{u} e \varphi_{v} são as derivadas parciais de \varphi em relação a u e v; o produto vetorial \varphi_{u}\times\varphi_{v} dá um vetor normal cuja norma fornece o fator de área local (a “dilatação” do elemento dudv para a superfície). Esta é a forma padrão para área de uma superfície parametrizada.
Passo 3
Calcular \varphi_{u} e \varphi_{v} explicitamente (passo a passo):
Calcular o produto vetorial \varphi_{u}\times\varphi_{v} e sua norma, com todos os passos:
Usamos a regra do determinante (modo componente a componente):
Interpretação didática rápida: a contribuição local para a área depende apenas de u (porque a superfície varia em u na direção z, e em v não há inclinação em z); o fator \sqrt{1+4u^{2}} mede quanto o elemento plano dudv é esticado ao ser mapeado para a superfície.]
Passo 5
Montar a integral de área sobre o domínio D. Pela fórmula,
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{4u^{2}+1}\,dudv.Á
Agora vamos usar a descrição do domínio D. Para cada u fixo com 0\le u\le1, o parâmetro v varia de 0 até v=\sqrt{1-u^{2}}. Assim podemos escrever a integral em coordenadas u,v como
Observação: também poderíamos ter escolhido coordenadas polares no plano uv (com u=r\cos\theta, v=r\sin\theta, 0\le r\le1, 0\le\theta\le\pi/2) e obter uma integral equivalente; ambas as formas são corretas. Aqui continuarei com a forma em u porque leva a uma única integral unidimensional mais direta para avaliação numérica.
Passo 6
Avaliar numericamente a integral unidimensional. Vou explicar um método prático que dá boa precisão sem cálculo simbólico pesado: regra de Simpson composta. Definimos a função
f(u)=\sqrt{1+4u^{2}}\;\sqrt{1-u^{2}},
e queremos \int_{0}^{1} f(u)\,du.
Escolhi passo h=0{,}1 (10 subintervalos, apropriado para Simpson). Calculei f(u) em u=0,0{,}1,0{,}2,\dots,1{,}0. Os valores aproximados obtidos (arredondados) são:
Fazendo as somas e a multiplicação (detalhes numéricos mostrados acima) obtém-se, com arredondamento adequado,
\text{Área}(S)\approx 1{,}07123.Á
Se preferir, este valor pode ser obtido com maior precisão usando mais subintervalos ou um integrador numérico; o procedimento mostrado é suficiente para a prova quando se pede a área numérica.