Seja S uma superfície parametrizada por
\varphi(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), \quad \text { com } u \geq 0, v \geq 0, u^{2}+v^{2} \leq 1 .
Determine a área de S.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície parametrizada por
\varphi(u,v)=\bigl(u,v,1-u^{2}\bigr)
com a região de parâmetros indicada por
u\ge 0,\quad v\ge 0,\quad u^{2}+v^{2}\le 1.
O que é pedido: determinar a área da superfície S descrita por \varphi quando (u,v) varia nessa região (isto é, a parte da parábola z=1-u^{2} sobre o quarto do disco unitário no plano uv).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função \varphi(u,v) fornece um gráfico z=f(u,v) com f(u,v)=1-u^{2}.
  • O domínio dos parâmetros é o quarto de disco unitário D=\{(u,v)\mid u\ge0,\\ v\ge0,\\ u^{2}+v^{2}\le1\}.
  • Precisamos calcular a área da superfície parametrizada por \varphi sobre esse domínio.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): para uma superfície parametrizada por \varphi(u,v) definida num domínio D do plano de parâmetros, a área da superfície é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\lVert \varphi_{u}\times\varphi_{v}\bigr\rVert\,dudv.Á
Aqui \varphi_{u} e \varphi_{v} são as derivadas parciais de \varphi em relação a u e v; o produto vetorial \varphi_{u}\times\varphi_{v} dá um vetor normal cuja norma fornece o fator de área local (a “dilatação” do elemento dudv para a superfície). Esta é a forma padrão para área de uma superfície parametrizada.

Passo 3

Calcular \varphi_{u} e \varphi_{v} explicitamente (passo a passo):
\varphi(u,v)=\bigl(u,\;v,\;1-u^{2}\bigr).
Derivando componente a componente,
\varphi_{u}(u,v)=\left(\dfrac{\partial}{\partial u}u,\\ \dfrac{\partial}{\partial u}v,\\ \dfrac{\partial}{\partial u}(1-u^{2})\right)=(1,0,-2u),
\varphi_{v}(u,v)=\left(\dfrac{\partial}{\partial v}u,\\ \dfrac{\partial}{\partial v}v,\\ \dfrac{\partial}{\partial v}(1-u^{2})\right)=(0,1,0).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \varphi_{u}\times\varphi_{v} e sua norma, com todos os passos:
Usamos a regra do determinante (modo componente a componente):
\varphi_{u}\times\varphi_{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 0 & -2u\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\varphi_{u}\times\varphi_{v}=\mathbf{i}\,(0-(-2u)\cdot1)-\mathbf{j}\,(1\cdot0-(-2u)\cdot0)+\mathbf{k}\,(1\cdot1-0\cdot0),
ou seja
\varphi_{u}\times\varphi_{v}=(2u,\,0,\,1).
A norma desse vetor é
\bigl\lVert \varphi_{u}\times\varphi_{v}\bigr\rVert=\sqrt{(2u)^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{4u^{2}+1}.
Interpretação didática rápida: a contribuição local para a área depende apenas de u (porque a superfície varia em u na direção z, e em v não há inclinação em z); o fator \sqrt{1+4u^{2}} mede quanto o elemento plano dudv é esticado ao ser mapeado para a superfície.]

Passo 5

Montar a integral de área sobre o domínio D. Pela fórmula,
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{4u^{2}+1}\,dudv.Á
Agora vamos usar a descrição do domínio D. Para cada u fixo com 0\le u\le1, o parâmetro v varia de 0 até v=\sqrt{1-u^{2}}. Assim podemos escrever a integral em coordenadas u,v como
\text{Área}(S)=\int_{u=0}^{1}\left(\int_{v=0}^{\sqrt{1-u^{2}}}\sqrt{4u^{2}+1}\,dv\right)du.Á
Como o integrando não depende de v, a integral interna é simplesmente multiplicação pelo comprimento do intervalo em v:
\text{Área}(S)=\int_{0}^{1}\sqrt{4u^{2}+1}\,\bigl(\sqrt{1-u^{2}}\bigr)\,du.Á
Portanto reduzimos a área a uma integral de uma variável:
\boxed{\text{Área}(S)=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4u^{2}}\;\sqrt{1-u^{2}}\;du.}Á
Observação: também poderíamos ter escolhido coordenadas polares no plano uv (com u=r\cos\theta, v=r\sin\theta, 0\le r\le1, 0\le\theta\le\pi/2) e obter uma integral equivalente; ambas as formas são corretas. Aqui continuarei com a forma em u porque leva a uma única integral unidimensional mais direta para avaliação numérica.

Passo 6

Avaliar numericamente a integral unidimensional. Vou explicar um método prático que dá boa precisão sem cálculo simbólico pesado: regra de Simpson composta. Definimos a função
f(u)=\sqrt{1+4u^{2}}\;\sqrt{1-u^{2}},
e queremos \int_{0}^{1} f(u)\,du.
Escolhi passo h=0{,}1 (10 subintervalos, apropriado para Simpson). Calculei f(u) em u=0,0{,}1,0{,}2,\dots,1{,}0. Os valores aproximados obtidos (arredondados) são:
\begin{array}{lcl} u=0{,}0, & f(0{,}0)=1{,}000000,\\\ u=0{,}1, & f(0{,}1)\approx1{,}0147,\\\ u=0{,}2, & f(0{,}2)\approx1{,}0559,\\\ u=0{,}3, & f(0{,}3)\approx1{,}1129,\\\ u=0{,}4, & f(0{,}4)\approx1{,}1739,\\\ u=0{,}5, & f(0{,}5)\approx1{,}2247,\\\ u=0{,}6, & f(0{,}6)\approx1{,}2496,\\\ u=0{,}7, & f(0{,}7)\approx1{,}2290,\\\ u=0{,}8, & f(0{,}8)\approx1{,}1322,\\\ u=0{,}9, & f(0{,}9)\approx0{,}8971,\\\ u=1{,}0, & f(1{,}0)=0. \end{array}
Aplicando a fórmula de Simpson composta com h=0{,}1:
\int_{0}^{1} f(u)\,du \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(0)+f(1)+4\sum_{\text{índices ímpares}} f(u)+2\sum_{\text{índices pares, não extremos}} f(u)\Bigr].íííã
Substituindo os valores numéricos:
\int_{0}^{1} f(u)\,du \approx \frac{0{,}1}{3}\bigl[1{,}0000+0 +4(1{,}0147+1{,}1129+1{,}2247+1{,}2290+0{,}8971)+2(1{,}0559+1{,}1739+1{,}2496+1{,}1322)\bigr].
Fazendo as somas e a multiplicação (detalhes numéricos mostrados acima) obtém-se, com arredondamento adequado,
\text{Área}(S)\approx 1{,}07123.Á
Se preferir, este valor pode ser obtido com maior precisão usando mais subintervalos ou um integrador numérico; o procedimento mostrado é suficiente para a prova quando se pede a área numérica.

Resposta

1,07123

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