Seja f(x)=x^{4}-3 x^{2}-3, sabendo que existe uma raiz isolada de f no intervalo [1,2], escolha uma função de iteração \varphi para aplicar o método das aproximações sucessivas que garanta o convergência do processo iterativo. Verifique se a sequência x_{n}=\varphi\left(x_{n-1}\right) é monótona ou oscilante e escolha um critério de parada que garanta que a solução apresentada tenha um erro inferior a 0,02 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver f(x)=x^4-3x^2-3=0 por iterações sucessivas numa raiz em [1,2]. O conteúdo é ponto-fixo e critério de convergência por contração. Precisamos:
  1. Escolher \varphi(x) tal que \varphi(x)=x seja equivalente a f(x)=0.
  2. Mostrar que \varphi é contração em [1,2].
  3. Verificar se (x_n) é monotônica ou oscilante.
  4. Definir critério de parada que garanta erro <0,02.

Passo 2

Escolhemos
\varphi(x)=\bigl(3x^2+3\bigr)^{\!1/4},
pois então \varphi(x)=x\iff x^4=3x^2+3\iff f(x)=0. Calculamos a derivada
\varphi'(x) =\frac{1}{4}(3x^2+3)^{-3/4}\cdot6x =\frac{6x}{4(3x^2+3)^{3/4}} =\frac{3x}{2\bigl(3(x^2+1)\bigr)^{3/4}}.
Para x\in[1,2], temos
\max_{[1,2]}|\varphi'(x)| =\varphi'(2) =\frac{3\cdot2}{2\bigl(3\cdot5\bigr)^{3/4}} \approx0,39<1.
Logo, \varphi é contração em [1,2], com constante q\approx0,39.

Passo 3

Como \varphi'(x)>0 em [1,2], \varphi é estritamente crescente. Se escolhermos x_0\in[1,2]:
  • Se x_0<\alpha (raiz), então x_1=\varphi(x_0)>x_0, e a sequência é crescente e limitada superiormente por \alpha.
  • Se x_0>\alpha, então x_1<x_0, e a sequência é decrescente e limitada inferiormente por \alpha.
    Não há oscilações: (x_n) é monotônica.

Passo 4

Pelo teorema da contração vale
|x_n-\alpha|\le\frac{q}{1-q}\,|x_n-x_{n-1}|.
Para garantir |x_n-\alpha|<0,02, basta assegurar
|x_n-x_{n-1}|<\frac{1-q}{q}\,0,02 \approx\frac{1-0,39}{0,39}\times0,02 \approx0,0313.
Assim, tomamos como critério de parada
|x_n-x_{n-1}|<0,0313,
o que assegura erro menor que 0,02.

Resposta

\displaystyle \varphi(x)=(3x^2+3)^{1/4}.
A sequência (x_n) é monotônica (crescente se x_0<\alpha, decrescente se x_0>\alpha) e converge por contração com constante q\approx0,39.
Critério de parada: \bigl|x_n-x_{n-1}\bigr|<0,0313, garantindo \bigl|x_n-\alpha\bigr|<0,02.

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