Seja
, sabendo que existe uma raiz isolada de
no intervalo
, escolha uma função de iteração
para aplicar o método das aproximações sucessivas que garanta o convergência do processo iterativo. Verifique se a sequência
é monótona ou oscilante e escolha um critério de parada que garanta que a solução apresentada tenha um erro inferior a 0,02 .
Passo 1
O enunciado pede para resolver
por iterações sucessivas numa raiz em
. O conteúdo é ponto-fixo e critério de convergência por contração. Precisamos:
- Escolher
tal que seja equivalente a . - Mostrar que
é contração em . - Verificar se
é monotônica ou oscilante. - Definir critério de parada que garanta erro
.
Passo 2
Escolhemos
pois então
. Calculamos a derivada
Para
, temos
Logo,
é contração em
, com constante
.
Passo 3
Como
em
,
é estritamente crescente. Se escolhermos
:
- Se
(raiz), então , e a sequência é crescente e limitada superiormente por . - Se
, então , e a sequência é decrescente e limitada inferiormente por .
Não há oscilações:é monotônica.
Passo 4
Pelo teorema da contração vale
Para garantir
, basta assegurar
Assim, tomamos como critério de parada
o que assegura erro menor que
.
Resposta
A sequência
Critério de parada: