Para cada função f abaixo, encontre duas funções de iteração \varphi, isto é, funções cujo ponto fixo \bar{x} seja o zero de f.
f(x)=e^{x}-\operatorname{sen}(x)+\cos (x)

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=e^{x}-\sin(x)+\cos(x)
e pede duas funções de iteração \varphi tais que o ponto fixo \bar x de \varphi seja solução de f(x)=0. Em outras palavras, queremos \varphi(\bar x)=\bar x e f(\bar x)=0.

Passo 2

Uma forma de obter \varphi é isolar e^{x} em f(x)=0:
e^{x}-\sin x+\cos x=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}=\sin x-\cos x
Tomando logaritmo natural, chega-se a
x=\ln\bigl(\sin x-\cos x\bigr).
Portanto, uma função de iteração é
\phi_{1}(x)=\ln\bigl(\sin x-\cos x\bigr).

Passo 3

Outra forma é isolar \sin x em f(x)=0:
e^{x}-\sin x+\cos x=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=e^{x}+\cos x
Aplicando a função \arcsin, obtemos
x=\arcsin\bigl(e^{x}+\cos x\bigr).
Assim, uma segunda função de iteração é
\phi_{2}(x)=\arcsin\bigl(e^{x}+\cos x\bigr).

Resposta

\phi_{1}(x)=\ln\bigl(\sin x-\cos x\bigr), \qquad \phi_{2}(x)=\arcsin\bigl(e^{x}+\cos x\bigr).

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