Seja a sequencia a_n = (1 * 4 * 7 * ... * (3n - 2)) / (1 * 6 * 11 * ... * (5n - 4)).
Verifique se o limite de a_n existe ou não.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência . Nosso objetivo aqui é descobrir se o limite dessa sequência existe quando cresce para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de progressões e limites de sequências, e vou te guiar passo a passo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as sequências no numerador e no denominador. No numerador, temos uma progressão aritmética com a1 = 1 e razão r = 3, ou seja, os termos são 1, 4, 7, …, até . No denominador, a progressão também é aritmética, mas com a1 = 1 e razão r = 5, então os termos são 1, 6, 11, …, até .

Passo 3

Para facilitar, vamos reescrever o produto do numerador e do denominador usando notação de produto. Podemos expressar como:
Isso significa que estamos multiplicando todos os termos da forma no numerador e no denominador, para de 1 até .

Passo 4

Agora, para analisar o comportamento de quando tende ao infinito, é útil transformar os produtos em somas usando logaritmos, porque somas são mais fáceis de manipular. Vamos aplicar o logaritmo natural em :

Passo 5

Vamos simplificar essas somas. Para grandes valores de , os termos e se comportam aproximadamente como e , respectivamente. Então, podemos aproximar:

Passo 6

Distribuindo as somas, temos:
Perceba que aparece com sinais opostos e se cancelam:

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que , que é negativo porque . Então:

Passo 8

Se tende a , isso significa que tende a zero. Em outras palavras:

Resposta

O limite de existe e é igual a zero.

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