Seja a sequencia
.
Verifique se o limite de
existe ou não.
Verifique se o limite de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência
. Nosso objetivo aqui é descobrir se o limite dessa sequência existe quando
cresce para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de progressões e limites de sequências, e vou te guiar passo a passo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as sequências no numerador e no denominador. No numerador, temos uma progressão aritmética com a1 = 1 e razão r = 3, ou seja, os termos são 1, 4, 7, …, até
. No denominador, a progressão também é aritmética, mas com a1 = 1 e razão r = 5, então os termos são 1, 6, 11, …, até
.
Passo 3
Para facilitar, vamos reescrever o produto do numerador e do denominador usando notação de produto. Podemos expressar
como:
Isso significa que estamos multiplicando todos os termos da forma
no numerador e
no denominador, para
de 1 até
.
Passo 4
Agora, para analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito, é útil transformar os produtos em somas usando logaritmos, porque somas são mais fáceis de manipular. Vamos aplicar o logaritmo natural em
:
Passo 5
Vamos simplificar essas somas. Para grandes valores de
, os termos
e
se comportam aproximadamente como
e
, respectivamente. Então, podemos aproximar:
Passo 6
Distribuindo as somas, temos:
Perceba que
aparece com sinais opostos e se cancelam:
Passo 7
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
, que é negativo porque
. Então:
Passo 8
Se
tende a
, isso significa que
tende a zero. Em outras palavras:
Resposta
O limite de
existe e é igual a zero.