Seja f(x)=ln x e Sf(x) a série de Taylor de f ao redor de x=2. Podemos afirmar que:
A Sf(x) converge para f em ] 1,3[, e f^(32)(2)=(31)!2^32.
B Sf(x) converge para f em ] 0,4[, e f^(32)(2)= (32)!2^33.
Sf(x) converge para f em ] 0,4[, e f^(32)(2)= -(31)!2^32.
D Sf(x) converge para f em] 1,3[, e f^(32)(2)=(32)!2^33.
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série de Taylor da função $ f(x) = \ln x $ em torno de $ x = 2 $. Precisamos descobrir onde essa série converge para a função original e também calcular a 32ª derivada de $ f $ no ponto 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como é a série de Taylor e como calcular derivadas de ordens altas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é $ x = 2 $. Para $ f(x) = \ln x $, a série de Taylor ao redor de $ x = 2 $ fica assim:
x = 2

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a convergência dessa série. A série de Taylor de $ \ln x $ em torno de $ x = 2 $ converge quando o valor de $ x $ está a uma distância menor que 1 de 2, ou seja, quando $ 1 < x < 3 $. Isso porque a série é baseada na expansão em torno de 2 e a distância máxima para que ela represente bem a função é 1 unidade para cada lado.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a 32ª derivada de $ f $ no ponto 2, $ f^{(32)}(2) $. Sabemos que a derivada de ordem $ n $ de $ \ln x $ é:
f
Então, para $ n = 32 $:
f^(32)(2)

Resposta

E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

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