Seja
e
a série de Taylor de
ao redor de
. Podemos afirmar que:
A
converge para
em
, e
.
B
converge para
em
, e
.
converge para
em
, e
.
D
converge para
, e
.
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
A
B
D
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série de Taylor da função $ f(x) = \ln x $ em torno de $ x = 2 $. Precisamos descobrir onde essa série converge para a função original e também calcular a 32ª derivada de $ f $ no ponto 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como é a série de Taylor e como calcular derivadas de ordens altas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é $ x = 2 $. Para $ f(x) = \ln x $, a série de Taylor ao redor de $ x = 2 $ fica assim:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a convergência dessa série. A série de Taylor de $ \ln x $ em torno de $ x = 2 $ converge quando o valor de $ x $ está a uma distância menor que 1 de 2, ou seja, quando $ 1 < x < 3 $. Isso porque a série é baseada na expansão em torno de 2 e a distância máxima para que ela represente bem a função é 1 unidade para cada lado.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular a 32ª derivada de $ f $ no ponto 2, $ f^{(32)}(2) $. Sabemos que a derivada de ordem $ n $ de $ \ln x $ é:
Então, para $ n = 32 $:
Resposta
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.