integral x^3+2 x-1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3+2x-1x^3-x ,dx. O conteúdo envolve frações algébricas e integração por decomposição em frações parciais. Vamos precisar fazer divisão de polinômios (quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador) e depois decompor a fração resultante.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios x^3+2x-1 por x^3-x. Como os graus são iguais, o quociente é 1 e o resto é obtido subtraindo-se x^3-x de x^3+2x-1:
(x^3+2x-1)-(x^3-x)=3x-1
Assim, a integral se transforma em:
integral x^3+2x-1x^3-x ,dx=integrall(1+3x-1x(x-1)(x+1)r)dx

Passo 3

Agora vamos decompor em frações parciais 3x-1x(x-1)(x+1) = Ax+Bx-1+Cx+1. Multiplicando por x(x-1)(x+1), obtemos a identidade:
3x-1 = A(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)
Expandindo e igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, temos o sistema:
A+B+C=0, B-C=3, -A=-1

Passo 4

Resolvendo o sistema: de -A=-1 vem A=1. Substituindo em A+B+C=0 1+B+C=0, logo B+C=-1. E de B-C=3 somamos com B+C=-1 para encontrar 2B=2 e assim B=1. Isso implica C=-2. Portanto:
3x-1x(x-1)(x+1) = 1x + 1x-1 - 2x+1

Passo 5

Substituindo de volta na integral, ficamos com:
integrall(1+1x+1x-1-2x+1r)dx =integral 1,dx + integral 1xdx + integral 1x-1dx -2integral 1x+1dx
Integrando termo a termo, usando integral1,dx=x+C e integral 1udu=ln|u|+C:
x + ln|x| + ln|x-1| - 2ln|x+1| + C

Resposta

x + \ln\lvert x\rvert + \ln\lvert x-1\rvert - 2\ln\lvert x+1\rvert + C

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