O enunciado pede para calcular a integral indefinida . O conteúdo envolve frações algébricas e integração por decomposição em frações parciais. Vamos precisar fazer divisão de polinômios (quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador) e depois decompor a fração resultante.
Passo 2
Primeiro, fazemos a divisão de polinômios por . Como os graus são iguais, o quociente é 1 e o resto é obtido subtraindo-se de :
Assim, a integral se transforma em:
Passo 3
Agora vamos decompor em frações parciais . Multiplicando por , obtemos a identidade:
Expandindo e igualando coeficientes de , e termo constante, temos o sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema: de -A=-1 vem A=1. Substituindo em A+B+C=0 dá 1+B+C=0, logo B+C=-1. E de B-C=3 somamos com B+C=-1 para encontrar 2B=2 e assim B=1. Isso implica C=-2. Portanto:
3x-1x(x-1)(x+1) = 1x + 1x-1 - 2x+1
Passo 5
Substituindo de volta na integral, ficamos com:
integrall(1+1x+1x-1-2x+1r)dx =integral 1,dx + integral 1xdx + integral 1x-1dx -2integral 1x+1dx
Integrando termo a termo, usando integral1,dx=x+C e integral 1udu=ln|u|+C:
x + ln|x| + ln|x-1| - 2ln|x+1| + C
Resposta
x + \ln\lvert x\rvert + \ln\lvert x-1\rvert - 2\ln\lvert x+1\rvert + C