Seja
e
a série de Taylor de
ao redor de
. Podemos afirmar que:
A
converge para
em
e
.
B
converge para
em
e
(91)!.
C
converge para
em
e
(92)!.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
converge para
e
.
A
B
C
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Passo 1
O exercício pede a série de Taylor de f(x)=\frac{-3x2}{(x3-2)^2} em torno de 0, seu raio de convergência e o valor de f^{(92)}(0), para então comparar com as opções dadas.
Passo 2
Identificamos as singularidades de f no plano complexo resolvendo x^3-2=0. A única raiz real é x=\sqrt[3]{2}≈1{,}26, e as outras duas são complexas de módulo também \sqrt[3]{2}. Portanto, o raio de convergência da série de Taylor em torno de 0 é R=\sqrt[3]{2}, e a série converge somente para |x|<\sqrt[3]{2}.
Passo 3
Reescrevendo f(x):
Passo 4
Assim o termo geral é
Passo 5
Logo, para n=92 temos 92=2+3k ⇒ k=30, e
Passo 6
Comparando com as alternativas, o intervalo de convergência correto é |x|<\sqrt[3]{2} (nenhuma das dadas bate) e o valor de f^{(92)}(0) é -93!/2^{32}. Assim, nenhuma das opções A, B ou C está certa.
Resposta
D