Seja f(x)=-3 x^2(x^3-2)^2 e Sf(x) a série de Taylor de f ao redor de x=0. Podemos afirmar que:
A Sf(x) converge para f em ]-raiz[3]2, raiz[3]2] e f^(92)(0)= (91)!2^31.
B Sf(x) converge para f em ]-1,1[ e f^(92)(0)= (91)!.
C Sf(x) converge para f em ]-1,1[ e f^(92)(0)= (92)!.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Sf(x) converge para f em]-raiz[3]2, raiz[3]2] e f^(92)(0)= -(93)!2^32.

Passo 1

O exercício pede a série de Taylor de f(x)=\frac{-3x2}{(x3-2)^2} em torno de 0, seu raio de convergência e o valor de f^{(92)}(0), para então comparar com as opções dadas.

Passo 2

Identificamos as singularidades de f no plano complexo resolvendo x^3-2=0. A única raiz real é x=\sqrt[3]{2}≈1{,}26, e as outras duas são complexas de módulo também \sqrt[3]{2}. Portanto, o raio de convergência da série de Taylor em torno de 0 é R=\sqrt[3]{2}, e a série converge somente para |x|<\sqrt[3]{2}.

Passo 3

Reescrevendo f(x):
f(x)=-3x^2,(x^3-2)^-2=-3x^2cdot14,(1-tfracx^32)^-2=-34x^2sumk=0^infty(k+1)l(tfracx^32r)^k

Passo 4

Assim o termo geral é
an=-tfrac34,k+12^k&se n=2+3k,0&caso contrário á

Passo 5

Logo, para n=92 temos 92=2+3k ⇒ k=30, e
f^(92)(0)=92!,a92=92!l(-tfrac34,312^30r)=-93!2^32

Passo 6

Comparando com as alternativas, o intervalo de convergência correto é |x|<\sqrt[3]{2} (nenhuma das dadas bate) e o valor de f^{(92)}(0) é -93!/2^{32}. Assim, nenhuma das opções A, B ou C está certa.

Resposta

D

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