(a) Seja o sinal
cuja transformada de Laplace é
. Possui três pólos em
e há dois zeros em
. A função se anula para
e a ROC portanto é um semi-plano estendendo-se para
. A fronteira da ROC é uma linha paralela ao eixo
que passa pelo pólo mais à direita, ou seja, pelo pólo com a maior parte real (uma vez que a transformada não converge sobre o pólo): Nenhum pólo pode pertencer à ROC de um dado sinal. Como neste caso a ROC se estende até
, então deve
se estender à direita do pólo com a maior parte real dentre os pólos da função em consideração.
(b.1) Seja o sinal
cuja transformada de Laplace é
. Possui três pólos em
e há dois zeros em
. A função se anula para
e a ROC portanto é um semi-plano estendendo-se para
. A fronteira da ROC é uma linha paralela ao eixo
que passa pelo pólo mais à esquerda, ou seja, pelo pólo com a menor parte real (uma vez que a transformada não converge sobre o pólo).
(b.2) Seja o sinal
cuja transformada de Laplace é
. Possui três pólos em
e há dois zeros em
. A função se anula para
e a ROC portanto é um semi-plano estendendo-se para
. A fronteira da ROC é uma linha paralela ao eixo
que passa pelo pólo mais à esquerda, ou seja, pelo pólo com a menor parte real (uma vez que a transformada não converge sobre o pólo).
(c) Seja o sinal
. O sinal coincide com o sinal do item (a) para
e com o item (b.1) para
. A ROC no item (a) é definida por
. A ROC no item (b.1) é definida por
. As duas ROCs não possuem nenhuma superposição e portanto a transformada de Laplace do sinal
não existe.
(d) Seja o sinal
. O sinal coincide com o do item (a) para
, com ROC definida por
. O sinal coincide com (b.2) para
, com ROC definida por
. Portanto, a transformada de Laplace bilateral do sinal existe e é dada por:
, com ROC definida por
.
(e) Seja o sinal
, que é um sinal de duração finita. Então sua transformada de Laplace é:
, que existe para todo e qualquer valor de
, ou seja, existe sobre todo o plano complexo. O denominador possui uma raiz em
, que coincide com a raiz do numerador:
se estender à direita do pólo com a maior parte real dentre os pólos da função em consideração.
(b.1) Seja o sinal
(b.2) Seja o sinal
(c) Seja o sinal
(d) Seja o sinal
(e) Seja o sinal
Passo 1
O enunciado dá cinco itens (a)–(e) relacionados a sinais temporais
, suas transformadas bilaterais
, localizações de polos/zeros e regiões de convergência (ROC). Para cada item o enunciado já afirma uma expressão para
, os polos e zeros relevantes, e uma ROC. O que preciso verificar e explicar passo a passo é: cada expressão de
está correta? a ROC indicada está correta? a conclusão sobre existência ou não da transformada bilateral está correta? Também preciso explicar por que (c) não tem transformada e por que (d) tem, e mostrar o cálculo de (e) incluindo o caso
.
Informações relevantes dadas (copiadas do enunciado, item por item):
- (a)
. Afirma-se , ROC: . Polos: . - (b.1)
. Afirma-se , ROC: . Polos: . - (b.2)
. Afirma-se , ROC: . Polos: . - (c)
. Afirma-se que ROCs de (a) e (b.1) não se sobrepõem e portanto a transformada bilateral não existe. - (d)
. Afirma-se , ROC: . - (e)
. Afirma-se e que essa expressão existe para todo , com cancelamento da raiz em e limite igual a naquele ponto.
A partir daqui vou explicar a teoria necessária, calcular explicitamente as transformadas (quando necessário), justificar as ROCs e confirmar/corrigir cada afirmação.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma prática):
- Definição (bilateral) usada: a transformada
de um sinal é a integral
onde
. Essa integral só “existe” (converge) para valores de
pertencentes à ROC; a ROC é o conjunto de
(parte real de
) onde a integral converge.
- Propriedade rápida para exponenciais apoiadas em
(causais):
Seentão
ou seja, converge se
. Exemplo concreto:
tem transformada
válida para
.
- Para exponenciais apoiadas em
(anti-causais, usam ):
Seentão
comvergindo para
, ou seja,
. (No detalhe a mudança
é usada; o sinal negativo aparece no resultado.) Exemplo:
dá transformada
válida para
.
- Para sinais do tipo
(ou ), podemos usar a transformada conhecida:
válida para
. Para o caso apoiado em
, a expressão é o negativo e a ROC é
.
- Polos/zeros e ROC:
- Polos (raízes do denominador) não pertencem à ROC.
- Para sinais estritamente causais (suportados em
) a ROC é um semi-plano à direita do pólo de maior parte real. - Para sinais estritamente anti-causais (suportados em
) a ROC é um semi-plano à esquerda do pólo de menor parte real. - Para sinais bilateralmente não nulos para
a ROC pode ser uma faixa entre polos. Se não houver interseção entre ROCs das partes esquerda/direita, a transformada bilateral não existe.
Com essas regras vamos calcular e confirmar cada item.
Passo 3
Item (a): calcular
e ROC a partir de cada termo.
Termo 1:
.
Usando a fórmula de exponencial causal, transformada é
Usando a fórmula de exponencial causal, transformada é
Termo 2:
.
Usando a fórmula para exponencial vezes cosseno com e
,
Usando a fórmula para exponencial vezes cosseno com
Somando os dois (ambos causais), a ROC será a interseção das duas ROCs individuais, ou seja
(pois
). Somando as frações:
Calcule o numerador passo a passo:
somando,
Portanto
Isto coincide com a expressão dada no enunciado do item (a). Conclusão: a expressão e a ROC de (a) estão corretas.
Passo 4
Interpretação e verificação didática do item (a):
- Polos aparecem onde o denominador é zero:
e as raízes de , que são . O pólo com maior parte real é , logo a ROC de um sinal causal que inclui esses termos é . Isso confirma a frase do enunciado sobre a fronteira da ROC ser a linha vertical passando pelo pólo com maior parte real (a linha ). - Observação prática: zeros aproximados propostos no enunciado (
) referem-se às soluções do numerador ; é plausível numericamente, e não impacta a ROC.
Passo 5
Item (b.1): cálculo e ROC.
Sinal:
. Ambos os termos são anti-causais (suportados em
).
Transformada de
:
Começamos da integral
Começamos da integral
Fazendo
com
obtemos
que converge se
, i.e.
. O valor da integral (para
) é
Transformada de
:
Analogamente, a transformada é
Analogamente, a transformada é
válida para
.
A ROC global é a interseção: precisa satisfazer ambas
e
, isto é
. A soma das transformadas dá
onde a última igualdade obtida fazendo o mesmo somatório algébrico do Passo 3 e factorando o sinal negativo. Isto coincide com a expressão dada em (b.1). Conclusão: (b.1) está correta.
Passo 6
Comentário didático sobre (b.1):
- A diferença de sinais (menos) entre (a) e (b.1) vem exatamente do suporte temporal: para termos em
a integral muda de sinal depois da mudança ; esse sinal negativo aparece nas expressões finais. - O pólo mais à direita entre
e é , mas como a parte anti-causal exige (a menor condição), a interseção das ROCs implica — isto confirma a descrição do enunciado sobre a fronteira da ROC ser a linha passando pelo pólo mais à esquerda (a menor parte real) neste caso.
Passo 7
Item (b.2): cálculo e ROC.
Sinal:
. Ambos anti-causais, agora com crescimento temporal (os
são positivos).
Transformada de
:
converge se
, ou seja
. O valor é
(mesmo raciocínio: integral de
com
dá
).
Transformada de
:
válido se
.
A interseção das ROCs
e
é
. Somando as duas transformadas:
(Verifiquei a álgebra: multiplicando e somando os numeradores leva a
, que é
vezes
.) Portanto a expressão e a ROC
dadas no enunciado do item (b.2) estão corretas.
Passo 8
Item (c): combinação das partes esquerda/direita.
O sinal em (c) é igual ao do item (a) para
e igual ao do item (b.1) para
. As ROCs individuais são:
- da parte
(item a): , - da parte
(item b.1): .
A ROC da transformada bilateral do sinal completo é a interseção destas duas regiões. A interseção de
com
é vazia (não há
que satisfaça simultaneamente
e
). Logo não existe nenhum valor de
para o qual ambas as integrais (parte positiva e parte negativa) convergem simultaneamente. Portanto a transformada bilateral não existe. Isto confirma o enunciado em (c).
Passo 9
Item (d): combinação que gera uma ROC em faixa.
O sinal em (d) é igual ao do item (a) para
(ROC
) e igual ao do item (b.2) para
(ROC
). A ROC da transformada bilateral do sinal completo é a interseção das duas ROCs individuais:
Assim existe uma faixa de convergência
(um “band-limited ROC” em termos de parte real). A transformada bilateral é a soma das transformadas das duas partes (a da direita, positiva, e a da esquerda, negativa). Usando as expressões já confirmadas:
que é exatamente
com ROC
. Isto coincide com o enunciado de (d). Observação prática: a existência da faixa entre
e
vem do fato de que a parte direita exige
e a parte esquerda exige
; a interseção é não-vazia.
Passo 10
Item (e): sinal de duração finita e cancelamento de polo.
Sinal:
. Isso significa
para
e zero fora desse intervalo. Então a transformada bilateral é
Integrando:
Isto é válido por construção para todos os
complexos com
arbitrário — na verdade a integral de
sobre um intervalo finito sempre é convergente para qualquer
, então a expressão acima define
como uma função analítica para todo
exceto possivelmente em
(onde o denominador se anula). Contudo, o numerador também se anula em
pois
em
dá
. Portanto o que parece ser uma singularidade em
é, na verdade, removível: o limite existe.
Calcule o limite em
(ou
conforme o enunciado):
Isso é do tipo
; podemos aplicar a regra de L’Hôpital (ou expandir exponencial):
pela derivada no numerador e denominador (L’Hôpital),
pela derivada no numerador e denominador (L’Hôpital),
Logo a singularidade é removível e o valor contínuo em
é
. Como o sinal tem duração finita,
é analítica em todo o plano (função inteira após remover o ponto removível). Portanto a afirmação do enunciado em (e) está correta.
Passo 11
Resumo e verificação final item a item:
- Confirmei as expressões de
apresentadas em (a), (b.1), (b.2) e (d) por cálculo direto termo a termo e soma algébrica. - Confirmei as ROCs indicadas para cada item usando as condições de convergência das integrais das partes direita e esquerda.
- Confirmei que em (c) as duas ROCs não se sobrepõem, logo a transformada bilateral não existe.
- Confirmei em (e) a fórmula e o cancelamento em
, com limite igual a .
Resposta
(a) Verdadeiro.
(b.1) Verdadeiro.
(b.2) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro (a transformada bilateral não existe).
(d) Verdadeiro; , ROC:
.
(e) Verdadeiro; com limite em
igual a
.
(b.1) Verdadeiro.
(b.2) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro (a transformada bilateral não existe).
(d) Verdadeiro;
(e) Verdadeiro;