(a) Seja o sinal y(t)=2 e^{-3 t} u(t)+e^{-2 t} \cos (6 t) u(t) cuja transformada de Laplace é Y(s)=\frac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+40\right)}, \sigma>-2. Possui três pólos em s=-3,(-2+6 i),(-2-6 i) e há dois zeros em s \approx-2,5 \pm 4,90 i. A função se anula para t<0 e a ROC portanto é um semi-plano estendendo-se para \sigma \rightarrow+\infty. A fronteira da ROC é uma linha paralela ao eixo \omega que passa pelo pólo mais à direita, ou seja, pelo pólo com a maior parte real (uma vez que a transformada não converge sobre o pólo): Nenhum pólo pode pertencer à ROC de um dado sinal. Como neste caso a ROC se estende até \sigma \rightarrow+\infty, então deve
se estender à direita do pólo com a maior parte real dentre os pólos da função em consideração.
(b.1) Seja o sinal y(t)=2 e^{-3 t} u(-t)+e^{-2 t} \cos (6 t) u(-t) cuja transformada de Laplace é Y(s)=-\frac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+40\right)}, \sigma<-3. Possui três pólos em s=-3,(-2+6 i),(-2-6 i) e há dois zeros em s \approx-2,5 \pm 4,90 i. A função se anula para t>0 e a ROC portanto é um semi-plano estendendo-se para \sigma \rightarrow-\infty. A fronteira da ROC é uma linha paralela ao eixo \omega que passa pelo pólo mais à esquerda, ou seja, pelo pólo com a menor parte real (uma vez que a transformada não converge sobre o pólo).
(b.2) Seja o sinal y(t)=2 e^{3 t} u(-t)+e^{2 t} \cos (6 t) u(-t) cuja transformada de Laplace é Y(s)=-\frac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)\left(s^{2}-4 s+40\right)}, \sigma<2. Possui três pólos em s=3,(2+6 i),(2-6 i) e há dois zeros em s \approx 2,5 \pm 4,90 i. A função se anula para t>0 e a ROC portanto é um semi-plano estendendo-se para \sigma \rightarrow-\infty. A fronteira da ROC é uma linha paralela ao eixo \omega que passa pelo pólo mais à esquerda, ou seja, pelo pólo com a menor parte real (uma vez que a transformada não converge sobre o pólo).
(c) Seja o sinal y(t)=\left(2 e^{-3 t}+e^{-2 t} \cos (6 t)\right) u(t)+\left(2 e^{-3 t}+e^{-2 t} \cos (6 t)\right) u(-t). O sinal coincide com o sinal do item (a) para t>0 e com o item (b.1) para t<0. A ROC no item (a) é definida por \sigma>-2. A ROC no item (b.1) é definida por \sigma<-3. As duas ROCs não possuem nenhuma superposição e portanto a transformada de Laplace do sinal y(t) não existe.
(d) Seja o sinal y(t)=\left(2 e^{-3 t}+e^{-2 t} \cos (6 t)\right) u(t)+\left(2 e^{3 t}+e^{2 t} \cos (6 t)\right) u(-t). O sinal coincide com o do item (a) para t>0, com ROC definida por \sigma>-2. O sinal coincide com (b.2) para t<0, com ROC definida por \sigma<2. Portanto, a transformada de Laplace bilateral do sinal existe e é dada por: Y(s)=\frac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+40\right)}-\frac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)\left(s^{2}-4 s+40\right)}, com ROC definida por -2<\sigma<2.
(e) Seja o sinal y(t)=e^{-2 t}(u(t)-u(t-1)), que é um sinal de duração finita. Então sua transformada de Laplace é: Y(s)=\frac{1-e^{-(s+2)}}{s+2}, que existe para todo e qualquer valor de s, ou seja, existe sobre todo o plano complexo. O denominador possui uma raiz em s=-2, que coincide com a raiz do numerador:
\lim _{\sigma \rightarrow-2} \frac{1-e^{-(\sigma+2)}}{\sigma+2}=\lim _{\sigma \rightarrow-2} e^{-(\sigma+2)}=1

Passo 1

O enunciado dá cinco itens (a)–(e) relacionados a sinais temporais y(t), suas transformadas bilaterais Y(s), localizações de polos/zeros e regiões de convergência (ROC). Para cada item o enunciado já afirma uma expressão para Y(s), os polos e zeros relevantes, e uma ROC. O que preciso verificar e explicar passo a passo é: cada expressão de Y(s) está correta? a ROC indicada está correta? a conclusão sobre existência ou não da transformada bilateral está correta? Também preciso explicar por que (c) não tem transformada e por que (d) tem, e mostrar o cálculo de (e) incluindo o caso s=-2.
Informações relevantes dadas (copiadas do enunciado, item por item):
  • (a) y(t)=2 e^{-3 t} u(t)+e^{-2 t}\cos(6t)\,u(t). Afirma-se Y(s)=\dfrac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)}, ROC: \sigma>-2. Polos: s=-3, -2\pm 6i.
  • (b.1) y(t)=2 e^{-3 t} u(-t)+e^{-2 t}\cos(6t)\,u(-t). Afirma-se Y(s)=-\dfrac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)}, ROC: \sigma<-3. Polos: s=-3, -2\pm6i.
  • (b.2) y(t)=2 e^{3 t} u(-t)+e^{2 t}\cos(6t)\,u(-t). Afirma-se Y(s)=-\dfrac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)(s^{2}-4 s+40)}, ROC: \sigma<2. Polos: s=3, 2\pm6i.
  • (c) y(t)=\bigl(2 e^{-3 t}+e^{-2 t}\cos(6t)\bigr)u(t)+\bigl(2 e^{-3 t}+e^{-2 t}\cos(6t)\bigr)u(-t). Afirma-se que ROCs de (a) e (b.1) não se sobrepõem e portanto a transformada bilateral não existe.
  • (d) y(t)=\bigl(2 e^{-3 t}+e^{-2 t}\cos(6t)\bigr)u(t)+\bigl(2 e^{3 t}+e^{2 t}\cos(6t)\bigr)u(-t). Afirma-se Y(s)=\dfrac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)}-\dfrac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)(s^{2}-4 s+40)}, ROC: -2<\sigma<2.
  • (e) y(t)=e^{-2 t}\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr). Afirma-se Y(s)=\dfrac{1-e^{-(s+2)}}{s+2} e que essa expressão existe para todo s, com cancelamento da raiz em s=-2 e limite igual a 1 naquele ponto.
A partir daqui vou explicar a teoria necessária, calcular explicitamente as transformadas (quando necessário), justificar as ROCs e confirmar/corrigir cada afirmação.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma prática):
  1. Definição (bilateral) usada: a transformada Y(s) de um sinal y(t) é a integral
Y(s)=\int_{-\infty}^{\infty} y(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s=\sigma+j\omega. Essa integral só “existe” (converge) para valores de s pertencentes à ROC; a ROC é o conjunto de \sigma (parte real de s) onde a integral converge.
  1. Propriedade rápida para exponenciais apoiadas em t\ge0 (causais):
    Se y(t)=e^{a t}u(t) então
\int_{0}^{\infty} e^{a t} e^{-s t} dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}dt=\frac{1}{s-a},\quad \text{para }\Re(s-a)>0,
ou seja, converge se \Re(s)> \Re(a). Exemplo concreto: e^{-3t}u(t) tem transformada \dfrac{1}{s+3} válida para \sigma>-3.
  1. Para exponenciais apoiadas em t\le0 (anti-causais, usam u(-t)):
    Se y(t)=e^{a t}u(-t) então
\int_{-\infty}^{0} e^{a t} e^{-s t} dt=\int_{0}^{\infty} e^{(s-a)\tau} d\tau = -\frac{1}{s-a},
comvergindo para \Re(s-a)<0, ou seja, \Re(s)<\Re(a). (No detalhe a mudança t=-\tau é usada; o sinal negativo aparece no resultado.) Exemplo: e^{-3t}u(-t) dá transformada -\dfrac{1}{s+3} válida para \sigma<-3.
  1. Para sinais do tipo e^{a t}\cos(\omega_0 t)u(t) (ou u(-t)), podemos usar a transformada conhecida:
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(\omega_0 t) u(t)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega_0^{2}},
válida para \Re(s)> \Re(a). Para o caso apoiado em t\le0, a expressão é o negativo e a ROC é \Re(s)<\Re(a).
  1. Polos/zeros e ROC:
  • Polos (raízes do denominador) não pertencem à ROC.
  • Para sinais estritamente causais (suportados em t\ge0) a ROC é um semi-plano \sigma> \sigma_0 à direita do pólo de maior parte real.
  • Para sinais estritamente anti-causais (suportados em t\le0) a ROC é um semi-plano \sigma< \sigma_0 à esquerda do pólo de menor parte real.
  • Para sinais bilateralmente não nulos para t\to\pm\infty a ROC pode ser uma faixa \sigma_1<\sigma<\sigma_2 entre polos. Se não houver interseção entre ROCs das partes esquerda/direita, a transformada bilateral não existe.
Com essas regras vamos calcular e confirmar cada item.

Passo 3

Item (a): calcular Y(s) e ROC a partir de cada termo.
Termo 1: 2 e^{-3t}u(t).
Usando a fórmula de exponencial causal, transformada é
\mathcal{L}\{2 e^{-3t}u(t)\}=\frac{2}{s+3},\qquad \text{válido para }\Re(s)>-3.á
Termo 2: e^{-2t}\cos(6t)\,u(t).
Usando a fórmula para exponencial vezes cosseno com a=-2 e \omega_0=6,
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(6t)u(t)\}=\frac{s+2}{(s+2)^2+6^2}=\frac{s+2}{s^2+4s+40}, \qquad \text{válido para }\Re(s)>-2.á
Somando os dois (ambos causais), a ROC será a interseção das duas ROCs individuais, ou seja \Re(s)>-2 (pois -2>-3). Somando as frações:
Y(s)=\frac{2}{s+3}+\frac{s+2}{s^2+4s+40} =\frac{2\bigl(s^2+4s+40\bigr)+(s+2)(s+3)}{(s+3)(s^2+4s+40)}.
Calcule o numerador passo a passo:
2(s^2+4s+40)=2s^2+8s+80,
(s+2)(s+3)=s^2+5s+6,
somando,
2s^2+8s+80+s^2+5s+6=3s^2+13s+86.
Portanto
Y(s)=\frac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)},\qquad \text{ROC: }\sigma>-2.
Isto coincide com a expressão dada no enunciado do item (a). Conclusão: a expressão e a ROC de (a) estão corretas.

Passo 4

Interpretação e verificação didática do item (a):
  • Polos aparecem onde o denominador é zero: s=-3 e as raízes de s^2+4s+40, que são s=-2\pm 6i. O pólo com maior parte real é -2, logo a ROC de um sinal causal que inclui esses termos é \sigma>-2. Isso confirma a frase do enunciado sobre a fronteira da ROC ser a linha vertical passando pelo pólo com maior parte real (a linha \sigma=-2).
  • Observação prática: zeros aproximados propostos no enunciado ( s\approx -2{,}5\pm 4{,}90i) referem-se às soluções do numerador 3s^2+13s+86=0; é plausível numericamente, e não impacta a ROC.

Passo 5

Item (b.1): cálculo e ROC.
Sinal: y(t)=2 e^{-3t}u(-t)+e^{-2t}\cos(6t)\,u(-t). Ambos os termos são anti-causais (suportados em t\le0).
Transformada de 2 e^{-3t}u(-t):
Começamos da integral
\int_{-\infty}^{0} 2 e^{-3t} e^{-s t}\,dt =2\int_{-\infty}^{0} e^{-(s+3)t} dt.
Fazendo t=-\tau com \tau\in[0,\infty) obtemos
2\int_{0}^{\infty} e^{(s+3)\tau} d\tau,
que converge se \Re(s+3)<0, i.e. \sigma<-3. O valor da integral (para \sigma<-3) é
2\cdot\frac{1}{-(s+3)}=-\frac{2}{s+3}.
Transformada de e^{-2t}\cos(6t)\,u(-t):
Analogamente, a transformada é
-\frac{s+2}{(s+2)^2+6^2}=-\frac{s+2}{s^2+4s+40},
válida para \sigma<-2.
A ROC global é a interseção: precisa satisfazer ambas \sigma<-3 e \sigma<-2, isto é \sigma<-3. A soma das transformadas dá
Y(s)=-\frac{2}{s+3}-\frac{s+2}{s^2+4s+40} =-\frac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)},
onde a última igualdade obtida fazendo o mesmo somatório algébrico do Passo 3 e factorando o sinal negativo. Isto coincide com a expressão dada em (b.1). Conclusão: (b.1) está correta.

Passo 6

Comentário didático sobre (b.1):
  • A diferença de sinais (menos) entre (a) e (b.1) vem exatamente do suporte temporal: para termos em t\le0 a integral muda de sinal depois da mudança t=-\tau; esse sinal negativo aparece nas expressões finais.
  • O pólo mais à direita entre -3 e -2 é -2, mas como a parte anti-causal exige \sigma< (a menor condição), a interseção das ROCs implica \sigma<-3 — isto confirma a descrição do enunciado sobre a fronteira da ROC ser a linha passando pelo pólo mais à esquerda (a menor parte real) neste caso.

Passo 7

Item (b.2): cálculo e ROC.
Sinal: y(t)=2 e^{3t}u(-t)+e^{2t}\cos(6t)\,u(-t). Ambos anti-causais, agora com crescimento temporal (os a são positivos).
Transformada de 2 e^{3t}u(-t):
\int_{-\infty}^{0}2 e^{3t} e^{-s t}dt=2\int_{-\infty}^{0} e^{-(s-3)t}dt =2\int_{0}^{\infty} e^{(s-3)\tau} d\tau,
converge se \Re(s-3)<0, ou seja \sigma<3. O valor é -\dfrac{2}{s-3} (mesmo raciocínio: integral de e^{a\tau} com \Re(a)<0 1/(-a)).
Transformada de e^{2t}\cos(6t)u(-t):
-\frac{s-2}{(s-2)^2+6^2}=-\frac{s-2}{s^2-4s+40},
válido se \sigma<2.
A interseção das ROCs \sigma<3 e \sigma<2 é \sigma<2. Somando as duas transformadas:
Y(s)=-\frac{2}{s-3}-\frac{s-2}{s^2-4s+40} =-\frac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)(s^{2}-4 s+40)}.
(Verifiquei a álgebra: multiplicando e somando os numeradores leva a -3s^2+13s-86, que é -1 vezes (3s^2-13s+86).) Portanto a expressão e a ROC \sigma<2 dadas no enunciado do item (b.2) estão corretas.

Passo 8

Item (c): combinação das partes esquerda/direita.
O sinal em (c) é igual ao do item (a) para t>0 e igual ao do item (b.1) para t<0. As ROCs individuais são:
  • da parte t\ge0 (item a): \sigma>-2,
  • da parte t\le0 (item b.1): \sigma<-3.
A ROC da transformada bilateral do sinal completo é a interseção destas duas regiões. A interseção de \{\sigma>-2\} com \{\sigma<-3\} é vazia (não há \sigma que satisfaça simultaneamente \sigma>-2 e \sigma<-3). Logo não existe nenhum valor de \sigma para o qual ambas as integrais (parte positiva e parte negativa) convergem simultaneamente. Portanto a transformada bilateral não existe. Isto confirma o enunciado em (c).

Passo 9

Item (d): combinação que gera uma ROC em faixa.
O sinal em (d) é igual ao do item (a) para t>0 (ROC \sigma>-2) e igual ao do item (b.2) para t<0 (ROC \sigma<2). A ROC da transformada bilateral do sinal completo é a interseção das duas ROCs individuais:
\{\sigma>-2\}\cap\{\sigma<2\}=\{-2<\sigma<2\}.
Assim existe uma faixa de convergência -2<\sigma<2 (um “band-limited ROC” em termos de parte real). A transformada bilateral é a soma das transformadas das duas partes (a da direita, positiva, e a da esquerda, negativa). Usando as expressões já confirmadas:
Y(s)=\frac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)} \;+\; \Bigl(-\frac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)(s^{2}-4 s+40)}\Bigr),
que é exatamente
Y(s)=\frac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)}-\frac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)(s^{2}-4 s+40)},
com ROC -2<\sigma<2. Isto coincide com o enunciado de (d). Observação prática: a existência da faixa entre -2 e 2 vem do fato de que a parte direita exige \sigma>-2 e a parte esquerda exige \sigma<2; a interseção é não-vazia.

Passo 10

Item (e): sinal de duração finita e cancelamento de polo.
Sinal: y(t)=e^{-2t}\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr). Isso significa y(t)=e^{-2t} para t\in[0,1) e zero fora desse intervalo. Então a transformada bilateral é
Y(s)=\int_{0}^{1} e^{-2t} e^{-s t} dt=\int_{0}^{1} e^{-(s+2)t} dt.
Integrando:
Y(s)=\left[\frac{e^{-(s+2)t}}{-(s+2)}\right]_{0}^{1}=\frac{1-e^{-(s+2)}}{s+2}.
Isto é válido por construção para todos os s complexos com \Re(s+2) arbitrário — na verdade a integral de e^{-(s+2)t} sobre um intervalo finito sempre é convergente para qualquer s, então a expressão acima define Y(s) como uma função analítica para todo s exceto possivelmente em s=-2 (onde o denominador se anula). Contudo, o numerador também se anula em s=-2 pois 1-e^{-(s+2)} em s=-2 1-e^{0}=0. Portanto o que parece ser uma singularidade em s=-2 é, na verdade, removível: o limite existe.
Calcule o limite em s\to -2 (ou \sigma\to-2 conforme o enunciado):
\lim_{s\to -2}\frac{1-e^{-(s+2)}}{s+2}.
Isso é do tipo 0/0; podemos aplicar a regra de L’Hôpital (ou expandir exponencial):
pela derivada no numerador e denominador (L’Hôpital),
\lim_{s\to -2}\frac{-e^{-(s+2)}\cdot(-1)}{1}= \lim_{s\to-2} e^{-(s+2)}=e^{0}=1.
Logo a singularidade é removível e o valor contínuo em s=-2 é 1. Como o sinal tem duração finita, Y(s) é analítica em todo o plano (função inteira após remover o ponto removível). Portanto a afirmação do enunciado em (e) está correta.

Passo 11

Resumo e verificação final item a item:
  • Confirmei as expressões de Y(s) apresentadas em (a), (b.1), (b.2) e (d) por cálculo direto termo a termo e soma algébrica.
  • Confirmei as ROCs indicadas para cada item usando as condições de convergência das integrais das partes direita e esquerda.
  • Confirmei que em (c) as duas ROCs não se sobrepõem, logo a transformada bilateral não existe.
  • Confirmei em (e) a fórmula e o cancelamento em s=-2, com limite igual a 1.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b.1) Verdadeiro.
(b.2) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro (a transformada bilateral não existe).
(d) Verdadeiro; Y(s)=\dfrac{3 s^{2}+13 s+86}{(s+3)(s^{2}+4 s+40)}-\dfrac{3 s^{2}-13 s+86}{(s-3)(s^{2}-4 s+40)}, ROC: -2<\sigma<2.
(e) Verdadeiro; Y(s)=\dfrac{1-e^{-(s+2)}}{s+2} com limite em s=-2 igual a 1.

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