Seja x(n) um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída y(n) com o sinal de entrada x(n), são lineares e/ou causais:
y(n)=\left\{\begin{array}{lr}x(n), & n \geq-1 \\\\ 0, & n=0 \\\ x(n+1), & n \leq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define um sistema discreto que associa a cada entrada x(n) uma saída y(n) segundo
y(n)= \begin{cases} x(n), & n\ge1,\\\\ 0, & n=0,\\\ x(n+1), & n\le -1. \end{cases}
Precisamos verificar se esse sistema satisfaz as propriedades de linearidade e de causalidade.

Passo 2

Para testar linearidade, usamos a propriedade de superposição: se duas entradas x_1(n) e x_2(n) geram saídas y_1(n) e y_2(n), então para qualquer combinação linear a\,x_1(n)+b\,x_2(n) a saída deve ser a\,y_1(n)+b\,y_2(n).
– Para n\ge1, y(n)=x(n) é claramente linear (identidade).
– Para n=0, y(0)=0 independe de x, mas é homogêneo (não há termo extra), logo linear.
– Para n\le-1, y(n)=x(n+1) é um deslocamento de índice, que também preserva soma e multiplicação por escalar.
Como não aparece nenhum termo constante nem não-linear, o sistema é linear.

Passo 3

Para testar causalidade, lembramos que o sistema é causal se, para cada n_0, y(n_0) depende apenas de x(k) com k\le n_0.
– Se n_0\ge1, y(n_0)=x(n_0) depende de x no mesmo instante, está OK.
– Se n_0=0, y(0)=0 não depende de x, também OK.
– Se n_0\le -1, y(n_0)=x(n_0+1). Mas n_0+1>n_0, isto é, usa x num instante futuro em relação a n_0. Por exemplo, em n_0=-1 temos y(-1)=x(0), que é “futuro” de -1.
Logo, o sistema não é causal.

Resposta

O sistema é linear, mas não causal.

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