Seja x(n) um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída y(n) com o sinal de entrada x(n), são lineares e/ou causais:
y(n)=x(4 n+1)+n

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema discreto que associa a saída y(n) ao sinal de entrada x(n) pela relação
y(n) = x(4n+1) + n.
Queremos determinar se esse sistema é linear (se satisfaz superposição e homogeneidade) e se é causal (se, para cada n, y(n) depende apenas de valores de entrada em instantes \le n).

Passo 2

Testando a linearidade: suponha duas entradas x_{1}(n) e x_{2}(n) e constantes a e b. Então
T\{a\,x_{1}+b\,x_{2}\}(n) = (a\,x_{1}+b\,x_{2})(4n+1) + n = a\,x_{1}(4n+1) + b\,x_{2}(4n+1) + n.
Por outro lado,
a\,T\{x_{1}\}(n) + b\,T\{x_{2}\}(n) = a\bigl(x_{1}(4n+1)+n\bigr) + b\bigl(x_{2}(4n+1)+n\bigr) = a\,x_{1}(4n+1) + b\,x_{2}(4n+1) + (a+b)\,n.
Para igualdade das duas expressões seria necessário (a+b)\,n = n para todo n e quaisquer a,b, o que não ocorre em geral. Logo, o sistema não é linear.

Passo 3

Testando a causalidade: para ser causal, y(n) deve depender apenas de valores de x(k) com k\le n. Mas aqui y(n) envolve x(4n+1), e para qualquer n\ge0 temos
4n+1 > n,
ou seja, y(n) depende de valores futuros de x. Portanto, o sistema não é causal.

Resposta

O sistema não é linear e não é causal.

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