Seja
um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída
com o sinal de entrada
, são lineares e/ou causais:
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema discreto que associa a saída
ao sinal de entrada
pela relação
Queremos determinar se esse sistema é linear (se satisfaz superposição e homogeneidade) e se é causal (se, para cada
,
depende apenas de valores de entrada em instantes
).
Passo 2
Testando a linearidade: suponha duas entradas
e
e constantes
e
. Então
Por outro lado,
Para igualdade das duas expressões seria necessário
para todo
e quaisquer
, o que não ocorre em geral. Logo, o sistema não é linear.
Passo 3
Testando a causalidade: para ser causal,
deve depender apenas de valores de
com
. Mas aqui
envolve
, e para qualquer
temos
ou seja,
depende de valores futuros de
. Portanto, o sistema não é causal.
Resposta
O sistema não é linear e não é causal.