Seja x(n) um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída y(n) com o sinal de entrada x(n), são lineares e/ou causais:
\mathrm{y}(\mathrm{t})=\mathrm{x}(\mathrm{t} / 3)

Passo 1

O enunciado define um sistema contínuo pela relação \displaystyle y(t)=x\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr).
Queremos verificar duas propriedades:
Linearidade: se vale superposição S\{a\,x_1+b\,x_2\}=a\,S\{x_1\}+b\,S\{x_2\}.
Causalidade: se, para cada instante t_0, a saída y(t_0) depende apenas de x(t) para t\le t_0.

Passo 2

Testando linearidade: seja x(t)=a\,x_1(t)+b\,x_2(t). Então
y(t)=x\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr) =(a\,x_1+b\,x_2)\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr) =a\,x_1\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)+b\,x_2\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr) =a\,y_1(t)+b\,y_2(t).
Logo o sistema é linear.

Passo 3

Testando causalidade: para um instante t_0,
y(t_0)=x\!\bigl(\tfrac{t_0}{3}\bigr).
Se t_0<0, então \tfrac{t_0}{3}>t_0, ou seja, y(t_0) usa valores de x em tempo futuro em relação a t_0. Isso viola a definição de causali­dade.

Resposta

O sistema é linear e não causal.

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