Seja um sistema de comunicação utilizando modulação DSB +C , para transmitir um sinal m(t), com largura de banda B.
( 1,0 pontos) Determine o diagrama de blocos de um receptor utilizando o detector de envoltória. Encontre todas as equações, no domínio do tempo, ao longo do seu sistema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Desenhar (descrever) o diagrama de blocos de um receptor que usa detector de envoltória (envelope detector) para demodular um sinal DSB+C.
  2. Escrever todas as equações no domínio do tempo ao longo desse receptor (ou seja, as equações nos pontos-chave: sinal recebido, sinal retificado, equação do circuito RC do detector, saída após bloqueio de contínua, sinal recuperado).
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo o que sabemos explicitamente do enunciado ou que é padrão nesse problema):
  • O sinal de mensagem é m(t) com largura de banda B.
  • A modulação é DSB+C (portadora preservada), ou seja, o transmissor envia a portadora mais a mensagem multiplicando-a por uma senóide.
  • Vou usar as notações usuais: amplitude da portadora A (constante positiva), frequência angular da portadora \omega_c e amplitude/ganho de canal \alpha. Se o canal for ideal, pode-se usar \alpha=1.
  • Podemos incluir ruído aditivo n(t) no receptor para manter a generalidade; depois explico quando ele pode ser desprezado.
  • Condições necessárias para que o detector de envoltória funcione sem distorção serão explicitadas (ex.: |m(t)|<A e B \ll f_c).
Não começo a resolver aqui nem explico ainda como recuperamos m(t) — apenas deixei claro o que é pedido e quais dados usarei.

Passo 2

Expressão do sinal transmitido (ponto do canal, saída do transmissor).
A forma usual de um sistema DSB+C que transmite m(t) é:
s(t) = \bigl(A + m(t)\bigr)\cos\!\bigl(\omega_c t\bigr).
Explicação das variáveis na fórmula:
  • s(t) é o sinal transmitido no domínio do tempo.
  • A é a amplitude da portadora (constante positiva). Ela garante que haja um termo constante (portadora) além da mensagem.
  • m(t) é o sinal de mensagem (assume-se que |m(t)|<A para evitar inversão de fase do envelope; vamos discutir isso).
  • \omega_c é a frequência angular da portadora: \omega_c = 2\pi f_c.
Breve comentário didático: DSB+C significa que multiplicamos a portadora por uma “amplitude” que é A + m(t). A portadora está presente (o termo A) — por isso o detector de envoltória pode funcionar.

Passo 3

Expressão do sinal recebido (entrada do detector), incluindo ganho do canal e ruído (caso exista).
No receptor, considerando ganho/atenuação do canal \alpha e ruído aditivo n(t), o sinal recebido é:
r(t) = \alpha\,s(t) + n(t) = \alpha\bigl(A + m(t)\bigr)\cos\!\bigl(\omega_c t\bigr) + n(t).
Explicação:
  • \alpha é um escalar real positivo que representa o ganho (ou atenuação) do canal.
  • n(t) é ruído aditivo (por exemplo ruído térmico), modelado como soma de componentes de banda larga; se quisermos a versão ideal sem ruído, ponha n(t)=0.
Condição prática para o detector de envoltória: a envoltória (amplitude instantânea) \alpha\bigl(A + m(t)\bigr) deve variar muito mais lentamente do que a portadora; isto é, B \ll f_c. Isso garante que a técnica de recuperar a envoltória funcione (o detector separa a envoltória das oscilações em \omega_c).

Passo 4

Descrever o diagrama de blocos do receptor com detector de envoltória (texto/fluxo dos blocos).
Diagrama de blocos (descrição em linha):
  • Entrada: r(t) (sinal recebido)
  • Bloque 1: Retificador/diode (detector de envoltória) — converte a senoide modulada em um sinal com componentes de baixa frequência (envoltória) + componentes de alta frequência
  • Bloque 2: Filtro passa-baixa / capacitor de suavização (circuito RC) — suaviza as oscilações de alta frequência deixando a envoltória
  • Bloque 3: Rede de bloqueio de contínua (capacitor de acoplagem) ou subtração da componente DC (remoção de \alpha A) — obtém a mensagem centrada em zero
  • Saída: \hat{m}(t) estimativa de m(t)
Em termos de cadeia de sinais:
r(t) \longrightarrow \text{retificador} \longrightarrow v_{\text{rect}}(t) \longrightarrow \text{RC (suav.)} \longrightarrow v_c(t) \longrightarrow \text{bloqueio DC} \longrightarrow \hat{m}(t).

Passo 5

Equação do sinal imediatamente após o retificador (etapa de retificação).
Se usarmos um retificador ideal de onda completa (para melhor eficiência), o sinal retificado é, de forma idealizada,
v_{\text{rect}}(t) = \bigl|r(t)\bigr| = \bigl|\alpha\bigl(A + m(t)\bigr)\cos(\omega_c t) + n(t)\bigr|.
Explicação e simplificação prática:
  • Em regime sem ruído ( n(t)=0) e supondo que A + m(t)\ge 0 para todo t, temos
v_{\text{rect}}(t) = \alpha\bigl(A + m(t)\bigr)\,\bigl|\cos(\omega_c t)\bigr|.
  • A função \bigl|\cos(\omega_c t)\bigr| é uma forma periódica com componentes DC e harmônicos em 2\omega_c, 4\omega_c,\dots. Após um filtro passa-baixa apropriado, os harmônicos em torno de 2\omega_c serão atenuados e restará uma componente proporcional à envoltória \alpha\bigl(A + m(t)\bigr).
Didática curta: o retificador transforma a oscilação em algo positivo; em seguida, um filtro remove a oscilação rápida deixando apenas a parte lenta (a envoltória). Não é necessário modelar todos os harmônicos; basta saber que o LPF deixa a componente baseband.

Passo 6

Equações do circuito RC (suavizador) do detector de envoltória — dinâmica em tempo.
Modelo simplificado do circuito detector de envoltória:
  • O retificador carrega rapidamente o capacitor quando o sinal retificado atinge picos maiores do que a tensão do capacitor.
  • Quando o pico do retificado é menor que a tensão no capacitor, o diodo fica bloqueado e o capacitor descarrega através da resistência R.
Dessa forma, a tensão no capacitor v_c(t) obedece ao comportamento piecewise:
  1. Região de carga (diode conduz): sempre que v_{\text{rect}}(t) > v_c(t), o diodo conduz e, com idealização de diodo e resistência interna muito baixa, o capacitor é carregado quase instantaneamente até:
v_c(t) \approx v_{\text{rect}}(t).
  1. Região de descarga (diode bloqueado): entre picos do portador, o diodo está bloqueado e o capacitor descarrega exponencialmente:
\frac{dv_c(t)}{dt} = -\frac{1}{RC}\,v_c(t)
que tem solução (sendo t_0 instante de início da descarga com v_c(t_0)=v_{c0}):
v_c(t) = v_{c0}\,e^{-(t-t_0)/(RC)}.
Explicação prática para projeto do tempo de constante RC:
  • Para que o capacitor não descarregue muito entre dois picos consecutivos da portadora (período T_c = 2\pi/\omega_c), devemos ter:
RC \gg T_c = \frac{2\pi}{\omega_c} \quad\text{(ou }RC \gg 1/f_c\text{)}.
  • Para que o capacitor acompanhe as mudanças da envoltória (variações em escala de tempo T_m\approx 1/B), devemos ter:
RC \ll T_m \approx \frac{1}{B}.
Portanto a condição prática é:
\frac{1}{f_c} \ll RC \ll \frac{1}{B}.
(forma equivalente em termos angulares: \omega_c \gg \frac{1}{RC} \gg B).
Pequena derivação da queda aproximada entre picos: se entre picos sucessivos (intervalo T_c) a descarga é pequena, a queda aproximada \Delta V é
\Delta V \approx v_c\Bigl(1 - e^{-T_c/(RC)}\Bigr) \approx v_c \frac{T_c}{RC} \quad\text{se } \frac{T_c}{RC}\ll 1.
Isto dá a condição numérica RC \gg T_c.

Passo 7

Tensão do capacitor após o RC (após filtragem) — relação com a envoltória.
Se o filtro/RC foi corretamente projetado e as hipóteses são satisfeitas ( B\ll f_c, |m(t)|<A, ruído pequeno), a saída do RC acompanha a envoltória escalada:
v_c(t) \approx \alpha\bigl(A + m(t)\bigr).
Se houver ruído, a expressão ideal fica alterada por termos de baixa frequência gerados pela retificação do ruído; isto leva a distorção e degradação do SNR, mostrando que o detector de envoltória é sensível a ruído e a sinais de fading.

Passo 8

Remoção da componente DC (bloqueio de contínua) e obtenção do sinal de mensagem estimado.
A saída v_c(t) contém a componente DC \alpha A mais a contribuição \alpha m(t). Para recuperar m(t) centrouem-se duas opções práticas:
  • Usar um capacitor de acoplamento (bloqueador DC) que remove o termo DC \alpha A.
  • Ou subtrair eletronicamente \alpha A.
Após remoção de DC, obtemos:
v_{\text{ac}}(t) = v_c(t) - \alpha A \approx \alpha\,m(t).
Finalmente, se desejarmos a estimativa normalizada \hat{m}(t) com a mesma amplitude de m(t), dividimos por \alpha (se \alpha for conhecido):
\hat{m}(t) = \frac{v_{\text{ac}}(t)}{\alpha} \approx m(t).

Passo 9

Resumo em cadeia com todas as equações temporais (lista com cada ponto do receptor).
Aqui estão as equações em sequência do transmissor até a saída, no domínio do tempo:
  • Transmissor (dado):
s(t) = \bigl(A + m(t)\bigr)\cos(\omega_c t).
  • Canal/Recepção (com ganho \alpha e ruido n(t)):
r(t) = \alpha\bigl(A + m(t)\bigr)\cos(\omega_c t) + n(t).
  • Após retificador (modelo idealizado de onda completa):
v_{\text{rect}}(t) = \bigl|r(t)\bigr| = \bigl|\alpha\bigl(A + m(t)\bigr)\cos(\omega_c t) + n(t)\bigr|.
  • Saída do circuito RC (com dinâmica piecewise):
    • Se v_{\text{rect}}(t) > v_c(t) (diode conduz), então
    v_c(t) \approx v_{\text{rect}}(t).
    • Se diode bloqueado, então
    \frac{dv_c(t)}{dt} = -\frac{1}{RC}\,v_c(t) \quad\Rightarrow\quad v_c(t) = v_c(t_0)\,e^{-(t-t_0)/(RC)}.
    Em regime ideal e sem ruído, com A + m(t)\ge 0,
    v_c(t) \approx \alpha\bigl(A + m(t)\bigr).
  • Após bloqueio de contínua (remoção de \alpha A):
v_{\text{ac}}(t) = v_c(t) - \alpha A \approx \alpha\,m(t).
  • Estimativa final da mensagem:
\hat{m}(t) = \frac{v_{\text{ac}}(t)}{\alpha} \approx m(t).

Passo 10

Condições práticas e observações finais (didática + como evitar problemas na prova).
  • Para que o detector de envoltória funcione corretamente (recupere m(t) sem distorção) é necessário:
    1. Envelope sempre positivo: \forall t,\; A + m(t) > 0. Na prática, exige-se |m(t)| < A (ou uso de deslocamento DC maior).
    2. Mensagem lenta em relação à portadora: B \ll f_c (ou seja, o envelope varia muito mais devagar que a portadora).
    3. RC escolhido tal que \dfrac{1}{f_c} \ll RC \ll \dfrac{1}{B}.
  • Em presença de ruído n(t), o detector de envoltória é não-linear e perde desempenho (ruído retificado produz componentes baseband que interferem em m(t)). Para melhor desempenho em canais ruidosos usa-se demodulação coerente (multiplicação por \cos(\omega_c t) e filtragem) em vez de detector de envoltória, mas isso exige sincronismo de fase e frequência.

Resposta

s(t)=\bigl(A+m(t)\bigr)\cos(\omega_c t)
r(t)=\alpha\bigl(A+m(t)\bigr)\cos(\omega_c t)+n(t)
v_{\text{rect}}(t)=\bigl|r(t)\bigr|=\bigl|\alpha\bigl(A+m(t)\bigr)\cos(\omega_c t)+n(t)\bigr|
\text{(RC dynamics) }\quad \begin{cases} v_c(t)\approx v_{\text{rect}}(t), & \text{se }v_{\text{rect}}(t)>v_c(t)\\ (\text{diode conduz})\\[4pt] \dfrac{dv_c(t)}{dt}=-\dfrac{1}{RC}\,v_c(t), & \text{se diode bloqueado} \end{cases}
\text{Com projeto adequado e sem ruído: }v_c(t)\approx\alpha\bigl(A+m(t)\bigr)í
v_{\text{ac}}(t)=v_c(t)-\alpha A\approx\alpha\,m(t)
\hat{m}(t)=\dfrac{v_{\text{ac}}(t)}{\alpha}\approx m(t)
Condições necessárias: \forall t:\\ A+m(t)>0 (ou |m(t)|<A), B\ll f_c, e escolha de RC tal que \dfrac{1}{f_c}\ll RC\ll \dfrac{1}{B}.]

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