Seja um sistema de comunicação utilizando modulação DSB +C , para transmitir um sinal m(t), com largura de banda B.
( 1,0 pontos) Determine o diagrama de blocos de um receptor utilizando o detector de envoltória. Encontre todas as equações, no domínio do tempo, ao longo do seu sistema.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Desenhar (descrever) o diagrama de blocos de um receptor que usa detector de envoltória (envelope detector) para demodular um sinal DSB+C.
Escrever todas as equações no domínio do tempo ao longo desse receptor (ou seja, as equações nos pontos-chave: sinal recebido, sinal retificado, equação do circuito RC do detector, saída após bloqueio de contínua, sinal recuperado).
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo o que sabemos explicitamente do enunciado ou que é padrão nesse problema):
O sinal de mensagem é m(t) com largura de banda B.
A modulação é DSB+C (portadora preservada), ou seja, o transmissor envia a portadora mais a mensagem multiplicando-a por uma senóide.
Vou usar as notações usuais: amplitude da portadora A (constante positiva), frequência angular da portadora \omega_c e amplitude/ganho de canal \alpha. Se o canal for ideal, pode-se usar \alpha=1.
Podemos incluir ruído aditivo n(t) no receptor para manter a generalidade; depois explico quando ele pode ser desprezado.
Condições necessárias para que o detector de envoltória funcione sem distorção serão explicitadas (ex.: |m(t)|<A e B \ll f_c).
Não começo a resolver aqui nem explico ainda como recuperamos m(t) — apenas deixei claro o que é pedido e quais dados usarei.
Passo 2
Expressão do sinal transmitido (ponto do canal, saída do transmissor).
A forma usual de um sistema DSB+C que transmite m(t) é:
A é a amplitude da portadora (constante positiva). Ela garante que haja um termo constante (portadora) além da mensagem.
m(t) é o sinal de mensagem (assume-se que |m(t)|<A para evitar inversão de fase do envelope; vamos discutir isso).
\omega_c é a frequência angular da portadora: \omega_c = 2\pi f_c.
Breve comentário didático: DSB+C significa que multiplicamos a portadora por uma “amplitude” que é A + m(t). A portadora está presente (o termo A) — por isso o detector de envoltória pode funcionar.
Passo 3
Expressão do sinal recebido (entrada do detector), incluindo ganho do canal e ruído (caso exista).
No receptor, considerando ganho/atenuação do canal \alpha e ruído aditivo n(t), o sinal recebido é:
\alpha é um escalar real positivo que representa o ganho (ou atenuação) do canal.
n(t) é ruído aditivo (por exemplo ruído térmico), modelado como soma de componentes de banda larga; se quisermos a versão ideal sem ruído, ponha n(t)=0.
Condição prática para o detector de envoltória: a envoltória (amplitude instantânea) \alpha\bigl(A + m(t)\bigr) deve variar muito mais lentamente do que a portadora; isto é, B \ll f_c. Isso garante que a técnica de recuperar a envoltória funcione (o detector separa a envoltória das oscilações em \omega_c).
Passo 4
Descrever o diagrama de blocos do receptor com detector de envoltória (texto/fluxo dos blocos).
Diagrama de blocos (descrição em linha):
Entrada: r(t) (sinal recebido)
Bloque 1: Retificador/diode (detector de envoltória) — converte a senoide modulada em um sinal com componentes de baixa frequência (envoltória) + componentes de alta frequência
Bloque 2: Filtro passa-baixa / capacitor de suavização (circuito RC) — suaviza as oscilações de alta frequência deixando a envoltória
Bloque 3: Rede de bloqueio de contínua (capacitor de acoplagem) ou subtração da componente DC (remoção de \alpha A) — obtém a mensagem centrada em zero
A função \bigl|\cos(\omega_c t)\bigr| é uma forma periódica com componentes DC e harmônicos em 2\omega_c, 4\omega_c,\dots. Após um filtro passa-baixa apropriado, os harmônicos em torno de 2\omega_c serão atenuados e restará uma componente proporcional à envoltória \alpha\bigl(A + m(t)\bigr).
Didática curta: o retificador transforma a oscilação em algo positivo; em seguida, um filtro remove a oscilação rápida deixando apenas a parte lenta (a envoltória). Não é necessário modelar todos os harmônicos; basta saber que o LPF deixa a componente baseband.
Passo 6
Equações do circuito RC (suavizador) do detector de envoltória — dinâmica em tempo.
Modelo simplificado do circuito detector de envoltória:
O retificador carrega rapidamente o capacitor quando o sinal retificado atinge picos maiores do que a tensão do capacitor.
Quando o pico do retificado é menor que a tensão no capacitor, o diodo fica bloqueado e o capacitor descarrega através da resistência R.
Dessa forma, a tensão no capacitor v_c(t) obedece ao comportamento piecewise:
Região de carga (diode conduz): sempre que v_{\text{rect}}(t) > v_c(t), o diodo conduz e, com idealização de diodo e resistência interna muito baixa, o capacitor é carregado quase instantaneamente até:
v_c(t) \approx v_{\text{rect}}(t).
Região de descarga (diode bloqueado): entre picos do portador, o diodo está bloqueado e o capacitor descarrega exponencialmente:
\frac{dv_c(t)}{dt} = -\frac{1}{RC}\,v_c(t)
que tem solução (sendo t_0 instante de início da descarga com v_c(t_0)=v_{c0}):
v_c(t) = v_{c0}\,e^{-(t-t_0)/(RC)}.
Explicação prática para projeto do tempo de constante RC:
Para que o capacitor não descarregue muito entre dois picos consecutivos da portadora (período T_c = 2\pi/\omega_c), devemos ter:
Tensão do capacitor após o RC (após filtragem) — relação com a envoltória.
Se o filtro/RC foi corretamente projetado e as hipóteses são satisfeitas (B\ll f_c, |m(t)|<A, ruído pequeno), a saída do RC acompanha a envoltória escalada:
v_c(t) \approx \alpha\bigl(A + m(t)\bigr).
Se houver ruído, a expressão ideal fica alterada por termos de baixa frequência gerados pela retificação do ruído; isto leva a distorção e degradação do SNR, mostrando que o detector de envoltória é sensível a ruído e a sinais de fading.
Passo 8
Remoção da componente DC (bloqueio de contínua) e obtenção do sinal de mensagem estimado.
A saída v_c(t) contém a componente DC \alpha A mais a contribuição \alpha m(t). Para recuperar m(t) centrouem-se duas opções práticas:
Usar um capacitor de acoplamento (bloqueador DC) que remove o termo DC \alpha A.
Ou subtrair eletronicamente \alpha A.
Após remoção de DC, obtemos:
v_{\text{ac}}(t) = v_c(t) - \alpha A \approx \alpha\,m(t).
Finalmente, se desejarmos a estimativa normalizada \hat{m}(t) com a mesma amplitude de m(t), dividimos por \alpha (se \alpha for conhecido):
Condições práticas e observações finais (didática + como evitar problemas na prova).
Para que o detector de envoltória funcione corretamente (recupere m(t) sem distorção) é necessário:
Envelope sempre positivo: \forall t,\; A + m(t) > 0. Na prática, exige-se |m(t)| < A (ou uso de deslocamento DC maior).
Mensagem lenta em relação à portadora: B \ll f_c (ou seja, o envelope varia muito mais devagar que a portadora).
RC escolhido tal que \dfrac{1}{f_c} \ll RC \ll \dfrac{1}{B}.
Em presença de ruído n(t), o detector de envoltória é não-linear e perde desempenho (ruído retificado produz componentes baseband que interferem em m(t)). Para melhor desempenho em canais ruidosos usa-se demodulação coerente (multiplicação por \cos(\omega_c t) e filtragem) em vez de detector de envoltória, mas isso exige sincronismo de fase e frequência.